Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1055
2015-02-17 
Дано непустое множество $G$ не равных постоянной функций действительного аргумента $x$ вида $f(x) = ax+b$, где $a$ и $b$ — действительные числа, причем $G$ удовлетворяет следующим условиям:
1) если $f, g \in G$, то $g \circ f \in G$, где $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, т. e. множество $G$ замкнуто относительно суперпозиции;
2) если $f \in G$, где $f(x) = ax+b$, то обратная функция $f^{-1} \in G$, где $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$;
3) для любой $f \in G$ существует $x_{f}$, такое, что $f(x_{f}) = x_{f}$.
Докажите, что существует действительное $k$, такое, что $f(k) = k$ для всех $f \in G$.
Решение:
Фигурирующее в условии 3) значение $x_{f}$ естественно называть неподвижной точкой функции $f$. Нам нужно доказать, что у всех функций из $G$ имеется общая неподвижная точка. Легко проверить, что у линейной функции $ax+b$ в случае $a=1$ неподвижная точка имеется лишь при $b=0$. Значит, если $f \in G$ и $a=1$, то $b=0$. Но у линейной функции $x$ все точки неподвижны. Значит, она имеет общую неподвижную точку с любой функцией из $G$. Поэтому, если множество $G$ состоит лишь из одной функции или из двух функций, из которых одна есть функция $x$, то утверждение задачи очевидно. Следовательно, мы можем считать, что в $G$ входят по крайней мере две линейные функции, отличные от функции $x$.
Пусть это функции $f_{1} = a_{1}x + b_{1}$ и $f_{2} = a_{2}x + b_{2} (a_{1} \neq 1, a_{2} \neq 1)$. Неподвижными точками этих функций являются соответственно $x_{f_{1}} = \frac{b_{1}}{1 – a_{1}}$ и $x_{f_{2}} = \frac{b_{2}}{1-a_{2}}$. Согласно условиям 1) и 2) $g = f_{1} \circ f_{2} \in G, h=f_{2} \circ f_{1} \in G$ и $g \circ h^{-1} \in G$. Осуществляя необходимые подставки, получаем $g(x) = a_{1} (a_{2}x+b_{2}) + b_{1}, h(x) = a_{2} (a_{1}x+b_{1}) + b_{2}, h^{-1}(x) = \frac{x-a_{2}b_{1} – b_{2}}{a_{2}a_{1}}$ (по условию задачи $a_{1} \neq 0, a_{2} \neq 0$), $g \circ h^{-1} = x + ((a_{1}b_{2} + b_{2})-(a_{2}b_{1} + b_{2}))$. Но, как мы уже отмечали, из того, что $g \circ h^{-1} \in G$, и того, что у $g \circ h^{-1}$ коэффициент при $x$ равен 1, следует, что $(a_{1}b_{2} + b_{1})-(a_{2}b_{1}+b_{2})=0$. Отсюда
$\frac{b_{1}}{1-a_{1}} = \frac{b_{2}}{1-a_{2}}$, т.е. $x_{f_{1}} = x_{f_{2}}$.
Поскольку это верно для любой пары функций из $G$, то тем самым доказано, что у всех $f$ из $G$ имеется общая точка $k$, такая, что $f(k)=k$.
Дано непустое множество $G$ не равных постоянной функций действительного аргумента $x$ вида $f(x) = ax+b$, где $a$ и $b$ — действительные числа, причем $G$ удовлетворяет следующим условиям:
1) если $f, g \in G$, то $g \circ f \in G$, где $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, т. e. множество $G$ замкнуто относительно суперпозиции;
2) если $f \in G$, где $f(x) = ax+b$, то обратная функция $f^{-1} \in G$, где $f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$;
3) для любой $f \in G$ существует $x_{f}$, такое, что $f(x_{f}) = x_{f}$.
Докажите, что существует действительное $k$, такое, что $f(k) = k$ для всех $f \in G$.
Решение:
Фигурирующее в условии 3) значение $x_{f}$ естественно называть неподвижной точкой функции $f$. Нам нужно доказать, что у всех функций из $G$ имеется общая неподвижная точка. Легко проверить, что у линейной функции $ax+b$ в случае $a=1$ неподвижная точка имеется лишь при $b=0$. Значит, если $f \in G$ и $a=1$, то $b=0$. Но у линейной функции $x$ все точки неподвижны. Значит, она имеет общую неподвижную точку с любой функцией из $G$. Поэтому, если множество $G$ состоит лишь из одной функции или из двух функций, из которых одна есть функция $x$, то утверждение задачи очевидно. Следовательно, мы можем считать, что в $G$ входят по крайней мере две линейные функции, отличные от функции $x$.
Пусть это функции $f_{1} = a_{1}x + b_{1}$ и $f_{2} = a_{2}x + b_{2} (a_{1} \neq 1, a_{2} \neq 1)$. Неподвижными точками этих функций являются соответственно $x_{f_{1}} = \frac{b_{1}}{1 – a_{1}}$ и $x_{f_{2}} = \frac{b_{2}}{1-a_{2}}$. Согласно условиям 1) и 2) $g = f_{1} \circ f_{2} \in G, h=f_{2} \circ f_{1} \in G$ и $g \circ h^{-1} \in G$. Осуществляя необходимые подставки, получаем $g(x) = a_{1} (a_{2}x+b_{2}) + b_{1}, h(x) = a_{2} (a_{1}x+b_{1}) + b_{2}, h^{-1}(x) = \frac{x-a_{2}b_{1} – b_{2}}{a_{2}a_{1}}$ (по условию задачи $a_{1} \neq 0, a_{2} \neq 0$), $g \circ h^{-1} = x + ((a_{1}b_{2} + b_{2})-(a_{2}b_{1} + b_{2}))$. Но, как мы уже отмечали, из того, что $g \circ h^{-1} \in G$, и того, что у $g \circ h^{-1}$ коэффициент при $x$ равен 1, следует, что $(a_{1}b_{2} + b_{1})-(a_{2}b_{1}+b_{2})=0$. Отсюда
$\frac{b_{1}}{1-a_{1}} = \frac{b_{2}}{1-a_{2}}$, т.е. $x_{f_{1}} = x_{f_{2}}$.
Поскольку это верно для любой пары функций из $G$, то тем самым доказано, что у всех $f$ из $G$ имеется общая точка $k$, такая, что $f(k)=k$.
