Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10546
2023-02-18 
Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром $a$.
Решение:
Первый способ. Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр с ребром $a$, $M$ - центр грани $ABC$, $L$ - середина $BC$, $Q$ - центр вписанной сферы, $r$ - её радиус.
Поскольку $DL\perp BC$ и $LM\perp BC$, линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $DBC$ - это угол $DLM$. Обозначим его $\beta$. Так как $DM$ - высота тетраэдра, то треугольник $DLM$ - прямоугольный. В нём известно, что $DL=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $LM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Следовательно,
$\cos\beta=\cos\angle DLM=\frac{LM}{DL}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3},~\sin\beta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$
Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный плоскостями $ABC$ и $DBC$, её центр $Q$ лежит в биссекторной плоскости этого угла.
Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро $AD$ и середину $L$ противоположного ему ребра $BC$. Получим треугольник $ALD$, стороны $AL$ и $AD$ которого касаются окружности радиуса $r$ с центром $Q$ на высоте $DM$. Из прямоугольного треугольника $LMQ$ находим, что
$r=QM=LMtg\angle QKM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot tg\frac{\beta}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$
Второй способ. Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр с ребром $a$, $r$ - искомый радиус вписанной сферы. Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $3:1$, считая от вершины. Значит, центр вписанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен $\frac{1}{4}$ высоты тетраэдра. Следовательно,
$r=\frac{1}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$
Третий способ. Пусть $r$ - радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром $a$, $V$ - объём тетраэдра, $S$ - полная поверхность. Тогда
$r=\frac{3V}{S}=\frac{\frac{3a^{3}\sqrt{2}}{12}}{a^{2}\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$
Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром $a$.
Решение:
Первый способ. Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр с ребром $a$, $M$ - центр грани $ABC$, $L$ - середина $BC$, $Q$ - центр вписанной сферы, $r$ - её радиус.
Поскольку $DL\perp BC$ и $LM\perp BC$, линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $DBC$ - это угол $DLM$. Обозначим его $\beta$. Так как $DM$ - высота тетраэдра, то треугольник $DLM$ - прямоугольный. В нём известно, что $DL=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $LM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Следовательно,
$\cos\beta=\cos\angle DLM=\frac{LM}{DL}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3},~\sin\beta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$
Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный плоскостями $ABC$ и $DBC$, её центр $Q$ лежит в биссекторной плоскости этого угла.
Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро $AD$ и середину $L$ противоположного ему ребра $BC$. Получим треугольник $ALD$, стороны $AL$ и $AD$ которого касаются окружности радиуса $r$ с центром $Q$ на высоте $DM$. Из прямоугольного треугольника $LMQ$ находим, что
$r=QM=LMtg\angle QKM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot tg\frac{\beta}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$
Второй способ. Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр с ребром $a$, $r$ - искомый радиус вписанной сферы. Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $3:1$, считая от вершины. Значит, центр вписанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен $\frac{1}{4}$ высоты тетраэдра. Следовательно,
$r=\frac{1}{4}a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$
Третий способ. Пусть $r$ - радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром $a$, $V$ - объём тетраэдра, $S$ - полная поверхность. Тогда
$r=\frac{3V}{S}=\frac{\frac{3a^{3}\sqrt{2}}{12}}{a^{2}\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$
