Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10543
2023-02-18 
Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.
Решение:
Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр с ребром $a$, $M$ - центр грани $ABC$, $L$ - середина $BC$. Поскольку $DL\perp BC$ и $LM\perp BC$, линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $DBC$ - это угол $DLM$. Обозначим его $\beta$. Так как $DM$ - высота тетраэдра, то треугольник $DLM$ - прямоугольный. В нём известно, что $DL=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $LM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Следовательно,
$\cos\beta=\cos\angle DLM=\frac{LM}{DL}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.$
Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.
Решение:
Пусть $ABCD$ - правильный тетраэдр с ребром $a$, $M$ - центр грани $ABC$, $L$ - середина $BC$. Поскольку $DL\perp BC$ и $LM\perp BC$, линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $DBC$ - это угол $DLM$. Обозначим его $\beta$. Так как $DM$ - высота тетраэдра, то треугольник $DLM$ - прямоугольный. В нём известно, что $DL=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $LM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Следовательно,
$\cos\beta=\cos\angle DLM=\frac{LM}{DL}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.$
