Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1054
2015-02-17 
Солдат должен проверить отсутствие мин на участке, включающем границу и имеющем форму равностороннего треугольника. Радиус действия его детектора равен половине высоты треугольника. Солдат выходит из одной вершины треугольника. Какой путь он должен выбрать, чтобы пройти наименьшее возможное расстояние и выполнить задание?
Решение:
Пусть солдат вышел из вершины $A$. Среди прочих ему надо проверить точки $B$ и $C$. Но для проверки точек $B$ и $C$ он должен побывать на дугах радиуса $\frac{h}{2}$ ($h$ — высота треугольника) с центром в этих точках (рис.). Найдем кратчайший из таких путей. Пусть сначала он побывал на дуге с центром в $B$, а затем — на дуге с центром в $C$. Если к этому пути добавить путь до точки $C$, то дело сведется к нахождению кратчайшего пути от $A$ к $C$ с заходом на первую дугу. Покажем, что таким кратчайшим путем будет ломаная $ADC$, где $D$ — середина высоты, исходящей из вершины $B$. В этом можно, например, убедиться следующим образом. Проведем через точку $D$ прямую $MN$, параллельную $AC$, и отметим точку $C^{\prime}$, симметричную точке $C$ относительно этой прямой. Тогда произвольный путь из $A$ в $C$ (на рисунке $AFC$) можно заменить равным ему путем из $A$ в $C^{\prime}$ (на рисунке $AFGC^{\prime}$). Путь по прямой $ADC^{\prime}$ будет, очевидно, кратчайшим. Пусть $E$ — точка пересечения отрезка $DC$ со второй дугой. Отбрасывая путь по радиусу $EC$, получаем, что путь $ADE$ является кратчайшим, при котором проверяются точки $B$ и $C$.
Остается убедиться, что при этом проверяются также и все другие точки треугольника, т. е. что ни одна точка треугольника не отстоит от пути $ADE$ на расстоянии, большем $\frac{h}{2}$. Это можно сделать, разбив треугольник подходящим образом на участки.s
Итак, путь $ADE$ искомый.
Солдат должен проверить отсутствие мин на участке, включающем границу и имеющем форму равностороннего треугольника. Радиус действия его детектора равен половине высоты треугольника. Солдат выходит из одной вершины треугольника. Какой путь он должен выбрать, чтобы пройти наименьшее возможное расстояние и выполнить задание?
Решение:
Пусть солдат вышел из вершины $A$. Среди прочих ему надо проверить точки $B$ и $C$. Но для проверки точек $B$ и $C$ он должен побывать на дугах радиуса $\frac{h}{2}$ ($h$ — высота треугольника) с центром в этих точках (рис.). Найдем кратчайший из таких путей. Пусть сначала он побывал на дуге с центром в $B$, а затем — на дуге с центром в $C$. Если к этому пути добавить путь до точки $C$, то дело сведется к нахождению кратчайшего пути от $A$ к $C$ с заходом на первую дугу. Покажем, что таким кратчайшим путем будет ломаная $ADC$, где $D$ — середина высоты, исходящей из вершины $B$. В этом можно, например, убедиться следующим образом. Проведем через точку $D$ прямую $MN$, параллельную $AC$, и отметим точку $C^{\prime}$, симметричную точке $C$ относительно этой прямой. Тогда произвольный путь из $A$ в $C$ (на рисунке $AFC$) можно заменить равным ему путем из $A$ в $C^{\prime}$ (на рисунке $AFGC^{\prime}$). Путь по прямой $ADC^{\prime}$ будет, очевидно, кратчайшим. Пусть $E$ — точка пересечения отрезка $DC$ со второй дугой. Отбрасывая путь по радиусу $EC$, получаем, что путь $ADE$ является кратчайшим, при котором проверяются точки $B$ и $C$.
Остается убедиться, что при этом проверяются также и все другие точки треугольника, т. е. что ни одна точка треугольника не отстоит от пути $ADE$ на расстоянии, большем $\frac{h}{2}$. Это можно сделать, разбив треугольник подходящим образом на участки.s
Итак, путь $ADE$ искомый.
