Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1053
2015-02-17 
Найдите минимальное значение $a^{2} + b^{2}$, где $a$ и $b$ — действительные числа, для которых уравнение $x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 =0$ имеет по крайней мере один действительный корень.
Решение:
Пусть исходное уравнение имеет корень $x>0$. Но тогда для этого значения
$x^{4} - |a|x^{3} - |b| x^{2} - |a|x + 1 \leq x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 =0$,
или
$|a|x^{3} + |b|x^{2} + |a|x \geq x^{4} +1$.
Легко проверяются неравенства
$x^{4} + 1 \geq 2x^{2}$ и $x^{4} + 1 \geq x^{3} + x$.
Используя их, получаем
$x^{4} + 1 \leq |a|x^{3} + |b|x^{2} + |a| x \leq |a|(x^{4} + 1) + |b| \frac{x^{4} + 1}{2} = \left ( |a| + \frac{|b|}{2} \right ) (x^{4} + 1)$,
откуда
$|a| + \frac{|b|}{2} \geq 1$, или $|b| \geq 2 – 2 |a|$.
Тогда
$a^{2} + b^{2} \geq |a|^{2} + (2-2|a|)^{2} = 5|a|^{2} – 8|a| + 4 = 5 \left ( |a| - \frac{4}{5} \right )^{2} + \frac{4}{5} \geq \frac{4}{5}$.
Если же исходное уравнение имеет отрицательный корень $x$, то легко заметить, что $(-x)$ является положительным корнем уравнения $x^{4} – ax^{3} + bx^{2} – ax + 1 = 0$. Применим к нему доказанное выше и получим, что и в этом случае $a^{2} + b^{2} \geq \frac{4}{5}$. Случай $x=0$ невозможен.
Итак, во всех случаях выражение $a^{2}+b^{2}$ не меньше $\frac{4}{5}$. Легко убедиться, что значение $\frac{4}{5}$ достижимо при $a = - \frac{4}{5}; b =- \frac{2}{5}$.
Найдите минимальное значение $a^{2} + b^{2}$, где $a$ и $b$ — действительные числа, для которых уравнение $x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 =0$ имеет по крайней мере один действительный корень.
Решение:
Пусть исходное уравнение имеет корень $x>0$. Но тогда для этого значения
$x^{4} - |a|x^{3} - |b| x^{2} - |a|x + 1 \leq x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 =0$,
или
$|a|x^{3} + |b|x^{2} + |a|x \geq x^{4} +1$.
Легко проверяются неравенства
$x^{4} + 1 \geq 2x^{2}$ и $x^{4} + 1 \geq x^{3} + x$.
Используя их, получаем
$x^{4} + 1 \leq |a|x^{3} + |b|x^{2} + |a| x \leq |a|(x^{4} + 1) + |b| \frac{x^{4} + 1}{2} = \left ( |a| + \frac{|b|}{2} \right ) (x^{4} + 1)$,
откуда
$|a| + \frac{|b|}{2} \geq 1$, или $|b| \geq 2 – 2 |a|$.
Тогда
$a^{2} + b^{2} \geq |a|^{2} + (2-2|a|)^{2} = 5|a|^{2} – 8|a| + 4 = 5 \left ( |a| - \frac{4}{5} \right )^{2} + \frac{4}{5} \geq \frac{4}{5}$.
Если же исходное уравнение имеет отрицательный корень $x$, то легко заметить, что $(-x)$ является положительным корнем уравнения $x^{4} – ax^{3} + bx^{2} – ax + 1 = 0$. Применим к нему доказанное выше и получим, что и в этом случае $a^{2} + b^{2} \geq \frac{4}{5}$. Случай $x=0$ невозможен.
Итак, во всех случаях выражение $a^{2}+b^{2}$ не меньше $\frac{4}{5}$. Легко убедиться, что значение $\frac{4}{5}$ достижимо при $a = - \frac{4}{5}; b =- \frac{2}{5}$.
