Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1051
2015-02-17 
Точка $O$ лежит на прямой $l; \vec{OP_{1}} , \vec{OP_{2}}, \cdots , \vec{OP_{n}}$ — единичные векторы, такие, что точки $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ лежат в одной плоскости, содержащей $l$, и все по одну сторону oт $l$. Докажите, что если $n$ нечетное, то $|\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{n}}| \geq 1$, где $|\vec{OM}|$ — длина вектора $\vec{OM}$.
Решение:
Доказательство можно провести по индукции. При $n=1$ утверждение очевидно. Пусть оно верно при некотором $n=k$. Осуществим индукционный переход от $n=k$ к $n=k+2$.
Выбрав на прямой $l$ направление, перенумеруем данные векторы в порядке возрастания угла (угол отсчитывается против часовой стрелки), который они образуют с положительным направлением прямой $l$ (рис.). Покажем, что при этой нумерации справедливо неравенство
$|\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}} + \vec{OP_{k+2}}| \geq |\vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}}|$. (1)
В случае, когда точки $P_{1}$ и $P_{k+2}$ обе лежат на прямой $l$ и сумма $\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{k+2}}$ вырождается в точку, векторы в левой и правой частях неравенства (1) совпадают, и оно очевидно. Поэтому будем в дальнейшем считать, что хотя бы одна из точек $P_{1}$ и $P_{k+2}$ не лежит на прямой $l$. Тогда суммой векторов $\vec{OP_{1}}$ и $\vec{OP_{k+2}}$ является ненулевой вектор $\vec{OR}$, изображаемый диагональю ромба со сторонами $\vec{OP_{1}}$ и $\vec{OP_{k+2}}$. Поэтому каждый из углов $P_{1}OR$ и $ROP_{k+2}$ не превосходит $\frac{\pi}{2}$. Пусть $\vec{OS} = \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}}$.
Из введенной нумерации векторов следует, что вектор $OS$ заключен либо внутри угла $P_{1}OR$, либо внутри угла $ROP_{k+1}$ и, следовательно, угол $ROS$ острый. Сумма $\vec{OR} + \vec{OS}$ изображается диагональю $OT$ соответствующего параллелограмма. В треугольнике $OST$ угол $OST$ тупой, поэтому сторона $OT$ является наибольшей, т.е. $|\vec{OT}| > |\vec{OS}|$, что и доказывает (1) во всех случаях. Но $|\vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}}| \geq 1$ по предположению индукции. Поэтому из (1) следует, что
$|\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k+1}} + \vec{OP_{k+2}}| \geq 1$.
Итак, по индукции мы получаем справедливость доказываемого утверждения для любых нечетных $n$.
Точка $O$ лежит на прямой $l; \vec{OP_{1}} , \vec{OP_{2}}, \cdots , \vec{OP_{n}}$ — единичные векторы, такие, что точки $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ лежат в одной плоскости, содержащей $l$, и все по одну сторону oт $l$. Докажите, что если $n$ нечетное, то $|\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{n}}| \geq 1$, где $|\vec{OM}|$ — длина вектора $\vec{OM}$.
Решение:
Доказательство можно провести по индукции. При $n=1$ утверждение очевидно. Пусть оно верно при некотором $n=k$. Осуществим индукционный переход от $n=k$ к $n=k+2$.
Выбрав на прямой $l$ направление, перенумеруем данные векторы в порядке возрастания угла (угол отсчитывается против часовой стрелки), который они образуют с положительным направлением прямой $l$ (рис.). Покажем, что при этой нумерации справедливо неравенство
$|\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}} + \vec{OP_{k+2}}| \geq |\vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}}|$. (1)
В случае, когда точки $P_{1}$ и $P_{k+2}$ обе лежат на прямой $l$ и сумма $\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{k+2}}$ вырождается в точку, векторы в левой и правой частях неравенства (1) совпадают, и оно очевидно. Поэтому будем в дальнейшем считать, что хотя бы одна из точек $P_{1}$ и $P_{k+2}$ не лежит на прямой $l$. Тогда суммой векторов $\vec{OP_{1}}$ и $\vec{OP_{k+2}}$ является ненулевой вектор $\vec{OR}$, изображаемый диагональю ромба со сторонами $\vec{OP_{1}}$ и $\vec{OP_{k+2}}$. Поэтому каждый из углов $P_{1}OR$ и $ROP_{k+2}$ не превосходит $\frac{\pi}{2}$. Пусть $\vec{OS} = \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}}$.
Из введенной нумерации векторов следует, что вектор $OS$ заключен либо внутри угла $P_{1}OR$, либо внутри угла $ROP_{k+1}$ и, следовательно, угол $ROS$ острый. Сумма $\vec{OR} + \vec{OS}$ изображается диагональю $OT$ соответствующего параллелограмма. В треугольнике $OST$ угол $OST$ тупой, поэтому сторона $OT$ является наибольшей, т.е. $|\vec{OT}| > |\vec{OS}|$, что и доказывает (1) во всех случаях. Но $|\vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k}} + \vec{OP_{k+1}}| \geq 1$ по предположению индукции. Поэтому из (1) следует, что
$|\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{k+1}} + \vec{OP_{k+2}}| \geq 1$.
Итак, по индукции мы получаем справедливость доказываемого утверждения для любых нечетных $n$.
