Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1048
2015-02-17 
Найдите все решения $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})$ системы неравенств:
$\begin{cases}
(x_{1}^{2} – x_{3}x_{5})(x_{2}^{2} – x_{3}x_{5}) \leq 0, &\\
(x_{2}^{2} – x_{4}x_{1})(x_{3}^{2} – x_{4}x_{1}) \leq 0, &\\
(x_{3}^{2} – x_{5}x_{2})(x_{4}^{2} – x_{5}x_{2}) \leq 0, &\\
(x_{4}^{2} – x_{1}x_{3})(x_{5}^{2} – x_{1}x_{3}) \leq 0, &\\
(x_{5}^{2} – x_{2}x_{4})(x_{1}^{2} – x_{2}x_{4}) \leq 0, &\\
\end{cases}$ где $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ — положительные действительные числа.
Решение:
Очевидно, что
$x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5} =a$ (1)
является решением данной системы при любом $a$. Покажем, что других решений нет. Допустим, что числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ удовлетворяют данной системе. Поскольку данная система не меняется при циклической замене переменных $ x_{1} \rightarrow x_{2} \rightarrow x_{3} \rightarrow x_{4} \rightarrow x_{5} \rightarrow x_{1}$, то без ограничения общности можно считать, что $x_{1}$ — максимальное среди чисел $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$, т. е. $x_{1} > x_{i}, i=1,2,3,4,5$. Тогда, очевидно, $x_{1}^{2} - x_{3}x_{5} \geq 0$ и $x_{1}^{2} – x_{2}x_{4} \geq 0$. Используя 1-е и 5-е неравенства, получаем $x_{2}^{2} – x_{3}x_{5} \leq 0$ и $x_{5}^{2} – x_{2}x_{4} \leq 0$. Отсюда следует, что если числа $ x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ не все равны между собой, то ни $x_{2}$, ни $x_{5}$ не может быть максимальным среди них. Значит, максимальными среди чисел $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ могут быть лишь $x_{2}$ или $x_{4}$. Однако легко проверить, что данная система неравенств не изменится, если всюду поменять местами $x_{3}$ и $x_{4}$ и одновременно поменять местами $x_{2}$ и $x_{5}$. Поэтому без ограничения общности можно считать, что $x_{3}$ является максимальным среди чисел $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$. Итак, $x_{1} \geq x_{3} \geq x_{i}, i=2,4,5$. Тогда $x_{1}x_{3} \geq x_{4}^{2}$ и $x_{1}x_{2} \geq x_{5}^{2}$, и, следовательно, учитывая 4-е неравенство, получаем $(x_{4}^{2} – x_{1}x_{3})(x_{5}^{2} – x_{1}x_{3}) = 0$. Значит, либо $x_{1}x_{3} = x_{4}^{2}$, либо $x_{1}x_{3} = x_{5}^{2}$. Учитывая 3-е неравенство, получаем, что либо $x_{1} = x_{3} = x_{4}$, либо $x_{1} = x_{3} = x_{5}$. В первом случае если хотя одно из чисел $x_{2}$ и $x_{5}$ строго меньше $x_{1} = x_{3} = x_{4}$, то мы получаем противоречие с третьим неравенством. Значит, в этом случае все 5 чисел должны быть равны. Во втором случае число $x_{5}$ оказывается равным максимальному среди чисел $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$, а это, как мы уже отмечали, возможно лишь тогда, когда эти 4 числа равны. Поскольку, кроме того, $x_{1} = x_{3}$, то все 5 чисел равны.
Итак, в любом случае справедливо (1), т. е. данная система
имеет решения только вида (1).
Найдите все решения $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})$ системы неравенств:
$\begin{cases}
(x_{1}^{2} – x_{3}x_{5})(x_{2}^{2} – x_{3}x_{5}) \leq 0, &\\
(x_{2}^{2} – x_{4}x_{1})(x_{3}^{2} – x_{4}x_{1}) \leq 0, &\\
(x_{3}^{2} – x_{5}x_{2})(x_{4}^{2} – x_{5}x_{2}) \leq 0, &\\
(x_{4}^{2} – x_{1}x_{3})(x_{5}^{2} – x_{1}x_{3}) \leq 0, &\\
(x_{5}^{2} – x_{2}x_{4})(x_{1}^{2} – x_{2}x_{4}) \leq 0, &\\
\end{cases}$ где $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ — положительные действительные числа.
Решение:
Очевидно, что
$x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5} =a$ (1)
является решением данной системы при любом $a$. Покажем, что других решений нет. Допустим, что числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ удовлетворяют данной системе. Поскольку данная система не меняется при циклической замене переменных $ x_{1} \rightarrow x_{2} \rightarrow x_{3} \rightarrow x_{4} \rightarrow x_{5} \rightarrow x_{1}$, то без ограничения общности можно считать, что $x_{1}$ — максимальное среди чисел $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$, т. е. $x_{1} > x_{i}, i=1,2,3,4,5$. Тогда, очевидно, $x_{1}^{2} - x_{3}x_{5} \geq 0$ и $x_{1}^{2} – x_{2}x_{4} \geq 0$. Используя 1-е и 5-е неравенства, получаем $x_{2}^{2} – x_{3}x_{5} \leq 0$ и $x_{5}^{2} – x_{2}x_{4} \leq 0$. Отсюда следует, что если числа $ x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ не все равны между собой, то ни $x_{2}$, ни $x_{5}$ не может быть максимальным среди них. Значит, максимальными среди чисел $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ могут быть лишь $x_{2}$ или $x_{4}$. Однако легко проверить, что данная система неравенств не изменится, если всюду поменять местами $x_{3}$ и $x_{4}$ и одновременно поменять местами $x_{2}$ и $x_{5}$. Поэтому без ограничения общности можно считать, что $x_{3}$ является максимальным среди чисел $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$. Итак, $x_{1} \geq x_{3} \geq x_{i}, i=2,4,5$. Тогда $x_{1}x_{3} \geq x_{4}^{2}$ и $x_{1}x_{2} \geq x_{5}^{2}$, и, следовательно, учитывая 4-е неравенство, получаем $(x_{4}^{2} – x_{1}x_{3})(x_{5}^{2} – x_{1}x_{3}) = 0$. Значит, либо $x_{1}x_{3} = x_{4}^{2}$, либо $x_{1}x_{3} = x_{5}^{2}$. Учитывая 3-е неравенство, получаем, что либо $x_{1} = x_{3} = x_{4}$, либо $x_{1} = x_{3} = x_{5}$. В первом случае если хотя одно из чисел $x_{2}$ и $x_{5}$ строго меньше $x_{1} = x_{3} = x_{4}$, то мы получаем противоречие с третьим неравенством. Значит, в этом случае все 5 чисел должны быть равны. Во втором случае число $x_{5}$ оказывается равным максимальному среди чисел $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$, а это, как мы уже отмечали, возможно лишь тогда, когда эти 4 числа равны. Поскольку, кроме того, $x_{1} = x_{3}$, то все 5 чисел равны.
Итак, в любом случае справедливо (1), т. е. данная система
имеет решения только вида (1).
