Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1046
2015-02-17 
Докажите, что следующее утверждение справедливо для любого $n \geq 4$: произвольный вписанный четырехугольник можно разбить на $n$ четырехугольников, вокруг каждого из которых можно описать окружность.
Решение:
Пусть угол $A$ — наименьший угол четырехугольника $ABCD$. Проведем из точки $A$ внутри угла $BAD$ луч. Возьмем на нем точку $A_{1}$ достаточно близко к точке $A$, так, чтобы проведенные через точку $A_{1}$ прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AD$, пересекали стороны $BC$ и $CD$ соответственно в точках $B_{1}$ и $D_{1}$ (рис.) и чтобы на сторонах $AB$ и $AD$ нашлись соответственно точки $L$ и $K$, такие, что $A_{1}LB = \hat{ABC}$, а $\hat{A_{1}KD} = \hat{CDA}$. Если один из углов $B$ и $D$ тупой (на рисунке $\angle B$), то последнее возможно в силу достаточной близости точки $A_{1}$ к $A$.
В случае же острого угла (на рисунке $\angle D$) это возможно в силу того, что угол $A$ наименьший. Вокруг равнобочных трапеций $A_{1}LBB_{1}$ и $A_{1}KDD_{1}$ всегда можно описать окружность. Углы четырехугольника $A_{1}B_{1}CD_{1}$ соответственно равны по величине углам исходного четырехугольника, поэтому вокруг $A_{1}B_{1}CD_{1}$ также можно описать окружность. Наконец, вокруг $ALA_{1}K$ можно описать окружность, так как $\hat{ALA_{1}}+ \hat{AKA_{1}} = (\pi - \hat{B}) + (\pi - \hat{D}) = \pi$.
Итак, утверждение доказано при $n=4$. Но поскольку в полученное разбиение входит равнобочная трапеция, которую можно разбить на произвольное число равнобочных трапеций, то отсюда следует справедливость нашего утверждения для любого $n>4$.
Докажите, что следующее утверждение справедливо для любого $n \geq 4$: произвольный вписанный четырехугольник можно разбить на $n$ четырехугольников, вокруг каждого из которых можно описать окружность.
Решение:
Пусть угол $A$ — наименьший угол четырехугольника $ABCD$. Проведем из точки $A$ внутри угла $BAD$ луч. Возьмем на нем точку $A_{1}$ достаточно близко к точке $A$, так, чтобы проведенные через точку $A_{1}$ прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AD$, пересекали стороны $BC$ и $CD$ соответственно в точках $B_{1}$ и $D_{1}$ (рис.) и чтобы на сторонах $AB$ и $AD$ нашлись соответственно точки $L$ и $K$, такие, что $A_{1}LB = \hat{ABC}$, а $\hat{A_{1}KD} = \hat{CDA}$. Если один из углов $B$ и $D$ тупой (на рисунке $\angle B$), то последнее возможно в силу достаточной близости точки $A_{1}$ к $A$.
В случае же острого угла (на рисунке $\angle D$) это возможно в силу того, что угол $A$ наименьший. Вокруг равнобочных трапеций $A_{1}LBB_{1}$ и $A_{1}KDD_{1}$ всегда можно описать окружность. Углы четырехугольника $A_{1}B_{1}CD_{1}$ соответственно равны по величине углам исходного четырехугольника, поэтому вокруг $A_{1}B_{1}CD_{1}$ также можно описать окружность. Наконец, вокруг $ALA_{1}K$ можно описать окружность, так как $\hat{ALA_{1}}+ \hat{AKA_{1}} = (\pi - \hat{B}) + (\pi - \hat{D}) = \pi$.
Итак, утверждение доказано при $n=4$. Но поскольку в полученное разбиение входит равнобочная трапеция, которую можно разбить на произвольное число равнобочных трапеций, то отсюда следует справедливость нашего утверждения для любого $n>4$.
