Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1043
2015-02-17 
Докажите, что для любого натурального числа $m$ существует непустое конечное множество $S$ точек плоскости, такое, что для любой точки $A$ из $S$ имеется ровно $m$ точек из $S$, которые находятся на единичном расстоянии от $A$.
Решение:
Искомое множество построим по индукции. При $m=1$ таким множеством является пара точек на единичном расстоянии друг от друга.
Пусть для $m=k$ требуемое множество построено. Обозначим его через $S_{k}$. Используя его, построим множество для $m=k+1$. Очевидно, задача будет решена, если мы найдем такой сдвиг множества $S_{k}$ на единичный вектор, что полученное в результате сдвига множество $S_{k}^{\prime}$ не имеет общих точек с $S_{k}$ и любая точка из $S_{k}^{\prime}$ находится на единичном расстоянии только от одной точки множества $S_{k}$, а именно той, из которой она получена в результате сдвига. Тогда искомым множеством $S_{k+1}$, будет объединение множеств $S_{k}$ и $S_{k}^{\prime}$. Покажем, что такой сдвиг можно найти. Построим единичные окружности с центрами в каждой точке множества $S_{k}$. Для каждой точки $X \in S_{k}$ окружность, центром которой она является, имеет лишь конечное число точек пересечения с другими окружностями. Рассмотрим множество единичных векторов, исходящих из точки $X$ и оканчивающихся в этих точках пересечения с другими окружностями, а также в других точках множества $S_{k}$, лежащих от $X$ на единичном расстоянии. Такие множества векторов образуем для каждой точки из $S_{k}$. Очевидно, все такие векторы для всех точек из $S_{k}$ образуют конечное множество. Поэтому можно найти такой единичный вектор, который не является параллельным ни одному из векторов этого конечного множества.
Нетрудно проверить, что так найденный вектор осуществляет
искомый сдвиг.
Докажите, что для любого натурального числа $m$ существует непустое конечное множество $S$ точек плоскости, такое, что для любой точки $A$ из $S$ имеется ровно $m$ точек из $S$, которые находятся на единичном расстоянии от $A$.
Решение:
Искомое множество построим по индукции. При $m=1$ таким множеством является пара точек на единичном расстоянии друг от друга.
Пусть для $m=k$ требуемое множество построено. Обозначим его через $S_{k}$. Используя его, построим множество для $m=k+1$. Очевидно, задача будет решена, если мы найдем такой сдвиг множества $S_{k}$ на единичный вектор, что полученное в результате сдвига множество $S_{k}^{\prime}$ не имеет общих точек с $S_{k}$ и любая точка из $S_{k}^{\prime}$ находится на единичном расстоянии только от одной точки множества $S_{k}$, а именно той, из которой она получена в результате сдвига. Тогда искомым множеством $S_{k+1}$, будет объединение множеств $S_{k}$ и $S_{k}^{\prime}$. Покажем, что такой сдвиг можно найти. Построим единичные окружности с центрами в каждой точке множества $S_{k}$. Для каждой точки $X \in S_{k}$ окружность, центром которой она является, имеет лишь конечное число точек пересечения с другими окружностями. Рассмотрим множество единичных векторов, исходящих из точки $X$ и оканчивающихся в этих точках пересечения с другими окружностями, а также в других точках множества $S_{k}$, лежащих от $X$ на единичном расстоянии. Такие множества векторов образуем для каждой точки из $S_{k}$. Очевидно, все такие векторы для всех точек из $S_{k}$ образуют конечное множество. Поэтому можно найти такой единичный вектор, который не является параллельным ни одному из векторов этого конечного множества.
Нетрудно проверить, что так найденный вектор осуществляет
искомый сдвиг.
