Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1040
2015-02-17 
Пусть имеется выпуклый многогранник $P_{1}$ с девятью вершинами $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{9}$. Обозначим через $P_{2}, P_{3} , \cdots , P_{9}$ многогранники, полученные из $P_{1}$ параллельными переносами, которые перемещают точку $A_{1}$ соответственно в точки $A_{2}, A_{3}, \cdots, A_{9}$. Докажите, что по крайней мере два из многогранников $P_{1}, P_{2}, \cdots , P_{9}$ имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку.
Решение:
Обозначим через $P$ многогранник, полученный из $P_{1}$ гомотетией с центром $A_{1}$ и коэффициентом 2. Легко заметить, что все многогранники $P_{1}, \cdots , P_{9}$ содержатся в $P$. В самом деле, пусть, например, $X \in P_{2}$. Тогда существует точка $Y \in P$, такая, что $X$ является образом точки $Y$ при переносе $A_{1} \rightarrow A_{2}$. Рассмотрев параллелограмм $A_{1}A_{2}XY$ (рис.), убеждаемся, что точка пересечения его диагоналей $Z \in P_{1}$, так как $A_{2} \in P_{1}, Y \in P_{1}$
и $P_{1}$ выпуклый. Но точка $X$ получается из $Z$ гомотетией с центром $A_{1}$ и коэффициентом 2. Значит, $X \in P$.
Итак, многогранник $P$, объем которого $V(p)$, очевидно, равен $V(P_{1})$, содержит внутри себя 9 многогранников объема $V(P_{1})$. Значит, по крайней мере два из них должны иметь пересечение, объем которого положителен. Тем самым утверждение доказано.
Пусть имеется выпуклый многогранник $P_{1}$ с девятью вершинами $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{9}$. Обозначим через $P_{2}, P_{3} , \cdots , P_{9}$ многогранники, полученные из $P_{1}$ параллельными переносами, которые перемещают точку $A_{1}$ соответственно в точки $A_{2}, A_{3}, \cdots, A_{9}$. Докажите, что по крайней мере два из многогранников $P_{1}, P_{2}, \cdots , P_{9}$ имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку.
Решение:
Обозначим через $P$ многогранник, полученный из $P_{1}$ гомотетией с центром $A_{1}$ и коэффициентом 2. Легко заметить, что все многогранники $P_{1}, \cdots , P_{9}$ содержатся в $P$. В самом деле, пусть, например, $X \in P_{2}$. Тогда существует точка $Y \in P$, такая, что $X$ является образом точки $Y$ при переносе $A_{1} \rightarrow A_{2}$. Рассмотрев параллелограмм $A_{1}A_{2}XY$ (рис.), убеждаемся, что точка пересечения его диагоналей $Z \in P_{1}$, так как $A_{2} \in P_{1}, Y \in P_{1}$
и $P_{1}$ выпуклый. Но точка $X$ получается из $Z$ гомотетией с центром $A_{1}$ и коэффициентом 2. Значит, $X \in P$.
Итак, многогранник $P$, объем которого $V(p)$, очевидно, равен $V(P_{1})$, содержит внутри себя 9 многогранников объема $V(P_{1})$. Значит, по крайней мере два из них должны иметь пересечение, объем которого положителен. Тем самым утверждение доказано.
