Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 104
2014-06-07 
Набор $(a_{1}; \cdots ; a_{n})$ натуральных чисел, удовлетворяющих равенству
$a_{1} + 2a_{2} + \cdots + na_{n}= 1979$,
назовем четным, если число $n$ четно, и назовем нечетным, если число $n$ нечетно. Доказать, что четных наборов существует столько же, сколько нечетных.
Решение:
Каждому набору $(a_{1}; \cdots ;a_{n})$ соответствует набор $b = (b_{1}; \cdots ; b_{n})$ натуральных чисел, определяемых равенствами
$b_{i} = a_{i} + a_{i+1} + \cdots + a_{n}$ при $i=1, \cdots , n$.
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множеством исходных наборов и множеством $B$ наборов $b$, удовлетворяющих условиям
$b_{1} > b_{2} > \cdots b_{n}$,
$b_{1}+b_{2}+ \cdots + b_{n}=1979$.
Обозначим через $\pi(b)$ последнее число $b_{n}$ в наборе $b$, а через $\sigma(b)$ -
наибольшее число $s$, для которого выполнено равенство
$b_{s}=b_{1}-s+1$
(заметим, что $1 \leq s \leq n$), а значит, и равенства
$b_{2}=b_{1}-1,b_{3}=b_{2}-1, \cdots , b_{s}=b_{s-1}-1$.
Определим в множестве $B$ операции $\alpha$ и $\beta$, результатами действия которых на набор $b \in B$ будут некоторые новые наборы $\alpha(b)$ и $\beta(b)$ из множества $B$. Пусть $\pi (b) \leq \sigma(b)$. Тогда $b_{n} \leq n-1$ (в противном случае
$n-1 < b_{n} \leq \sigma(b) \leq n$, т. е. $\sigma(b)=b_{n}=n$,
а значит,
$1979=b_{n} + b_{n-1} + \cdots + b_{1} = n + (n+1) + \cdots + (2n-1) = n (3n-1)/2$,
чего не может быть ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$), следовательно, возможна операция
$\alpha(b_{1}; \cdots ;b_{n}) = (b_{1}+1; b_{2}+1; \cdots ; b_{\pi (b)}+1; b_{\pi (b)+1}; b_{n-1})$.
При этом
$\pi (\alpha(b))=b_{n-1} > b_{n} = \pi (b)= \sigma (\alpha(b))$.
Пусть $\pi(b) > \sigma (b)$. Тогда зададим операцию
$\beta(b_{1}; \cdots ;b_{n}) = (b_{1}+1; b_{2}-1; \cdots ; b_{\sigma (b)}-1; b_{\sigma (b)+1}; \cdots ; b_{n}; \sigma(b))$.
Заметим, что в случае $\sigma(b) = n$ будет выполнено необходимое неравенство $b_{n} - 1 > \sigma(b)$ (иначе $n =\sigma (b) < b_{n} \leq \sigma(b)+1 = n+1$, т. е.
$b_{n}=n+1,b_{n-1}=n+2, \cdots, b_{1}=2n$, а значит,
$1979=b_{n} + b_{n+1} + \cdots + b_{1} = n (3n +1)/2$,
чего не может быть ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$). При этом
$\pi (\beta(b))= \sigma (b) \leq \sigma (\beta(b))$.
Множество $B$ разобьем на пары элементов: с каждым набором $b$ свяжем набор $b^{\prime}$, равный набору $\alpha(b)$ или $\beta(b)$ в зависимости от того, какое из неравенств $\pi(b) \leq \sigma (b)$ или $\pi(b) > \sigma(b)$ имеет место (при этом выполнено условие
$\beta(\alpha(b))=b$ или $\alpha(\beta(b))=b$
соответственно, гарантирующее, что набор $\beta^{\prime}$ образует ту же самую пару наборов $b,b^{\prime}$). Поскольку в каждой паре один из наборов четный, а другой - нечетный (под действием каждой из операций $\alpha$ или $\beta$ четность набора, определенная четностью числа $n$, меняется на противоположную), то во множестве $B$ содержится одинаковое количество четных и нечетных наборов. Следовательно, то же самое можно утверждать и о множестве исходных наборов $(a_{1}; \cdots ;a_{n})$.
Набор $(a_{1}; \cdots ; a_{n})$ натуральных чисел, удовлетворяющих равенству
$a_{1} + 2a_{2} + \cdots + na_{n}= 1979$,
назовем четным, если число $n$ четно, и назовем нечетным, если число $n$ нечетно. Доказать, что четных наборов существует столько же, сколько нечетных.
Решение:
Каждому набору $(a_{1}; \cdots ;a_{n})$ соответствует набор $b = (b_{1}; \cdots ; b_{n})$ натуральных чисел, определяемых равенствами
$b_{i} = a_{i} + a_{i+1} + \cdots + a_{n}$ при $i=1, \cdots , n$.
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множеством исходных наборов и множеством $B$ наборов $b$, удовлетворяющих условиям
$b_{1} > b_{2} > \cdots b_{n}$,
$b_{1}+b_{2}+ \cdots + b_{n}=1979$.
Обозначим через $\pi(b)$ последнее число $b_{n}$ в наборе $b$, а через $\sigma(b)$ -
наибольшее число $s$, для которого выполнено равенство
$b_{s}=b_{1}-s+1$
(заметим, что $1 \leq s \leq n$), а значит, и равенства
$b_{2}=b_{1}-1,b_{3}=b_{2}-1, \cdots , b_{s}=b_{s-1}-1$.
Определим в множестве $B$ операции $\alpha$ и $\beta$, результатами действия которых на набор $b \in B$ будут некоторые новые наборы $\alpha(b)$ и $\beta(b)$ из множества $B$. Пусть $\pi (b) \leq \sigma(b)$. Тогда $b_{n} \leq n-1$ (в противном случае
$n-1 < b_{n} \leq \sigma(b) \leq n$, т. е. $\sigma(b)=b_{n}=n$,
а значит,
$1979=b_{n} + b_{n-1} + \cdots + b_{1} = n + (n+1) + \cdots + (2n-1) = n (3n-1)/2$,
чего не может быть ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$), следовательно, возможна операция
$\alpha(b_{1}; \cdots ;b_{n}) = (b_{1}+1; b_{2}+1; \cdots ; b_{\pi (b)}+1; b_{\pi (b)+1}; b_{n-1})$.
При этом
$\pi (\alpha(b))=b_{n-1} > b_{n} = \pi (b)= \sigma (\alpha(b))$.
Пусть $\pi(b) > \sigma (b)$. Тогда зададим операцию
$\beta(b_{1}; \cdots ;b_{n}) = (b_{1}+1; b_{2}-1; \cdots ; b_{\sigma (b)}-1; b_{\sigma (b)+1}; \cdots ; b_{n}; \sigma(b))$.
Заметим, что в случае $\sigma(b) = n$ будет выполнено необходимое неравенство $b_{n} - 1 > \sigma(b)$ (иначе $n =\sigma (b) < b_{n} \leq \sigma(b)+1 = n+1$, т. е.
$b_{n}=n+1,b_{n-1}=n+2, \cdots, b_{1}=2n$, а значит,
$1979=b_{n} + b_{n+1} + \cdots + b_{1} = n (3n +1)/2$,
чего не может быть ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$). При этом
$\pi (\beta(b))= \sigma (b) \leq \sigma (\beta(b))$.
Множество $B$ разобьем на пары элементов: с каждым набором $b$ свяжем набор $b^{\prime}$, равный набору $\alpha(b)$ или $\beta(b)$ в зависимости от того, какое из неравенств $\pi(b) \leq \sigma (b)$ или $\pi(b) > \sigma(b)$ имеет место (при этом выполнено условие
$\beta(\alpha(b))=b$ или $\alpha(\beta(b))=b$
соответственно, гарантирующее, что набор $\beta^{\prime}$ образует ту же самую пару наборов $b,b^{\prime}$). Поскольку в каждой паре один из наборов четный, а другой - нечетный (под действием каждой из операций $\alpha$ или $\beta$ четность набора, определенная четностью числа $n$, меняется на противоположную), то во множестве $B$ содержится одинаковое количество четных и нечетных наборов. Следовательно, то же самое можно утверждать и о множестве исходных наборов $(a_{1}; \cdots ;a_{n})$.
