Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1039
2015-02-17 
Докажите, что утверждение “Для любых действительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ выполняется неравенство
$(a_{1} – a_{2})(a_{1}- a_{3}) \cdots (a_{1} – a_{n}) + (a_{2} – a_{1})(a_{2} – a_{3}) \cdots (a_{2} – a_{n}) + \cdots \cdots + (a_{n} – a_{1})(a_{n}- a_{2}) \cdots (a_{n} – a_{n-1}) \geq 0$
справедливо при $n=3$ и $n=5$ и несправедливо ни при каком другом натуральном $n > 2$.
Решение:
Докажем справедливость утверждения при $n=3$. Преобразуем левую часть неравенства
$(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})+(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})+(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{2}) = a_{1}^{2} – a_{1}a_{3} - a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + a_{2}^{2} - a_{2}a_{3} - a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{3}^{2} - a_{2}a_{3} - a_{1}a_{3} + a_{1}a_{2} = a_{1}^{2} -a_{1}a_{3} - a_{1}a_{2} + a_{2}^{2} - a_{2}a_{3} + a_{3}^{2} = \frac{1}{2} ((a_{1}-a_{2})^{2} + (a_{2}-a_{3})^{2} + (a_{3}-a_{1})^{2})$.
Полученное выражение при любых $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ неотрицательно. Таким образом, при $n=3$ утверждение справедливо.
При $n=5$ применим следующее рассуждение. В силу симметричности левой части относительно $a_{i}$ и $a_{j} (i \neq j)$ можно, не ограничивая общности, считать, что $a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq a_{4} \geq a_{5}$. В таком случае
$a_{1} - a_{2} \geq 0, a_{1} – a_{3} \geq a_{2} – a_{3} \geq 0 \\,
a_{1} – a_{4} \geq a_{2} – a_{4} \geq 0, \\
a_{1} – a_{5} \geq a_{2} – a_{5} \geq 0, $;
так что $(a_{1}-a_{2})( a_{1}-a_{3})( a_{1}-a_{4})( a_{1}-a_{5}) + (a_{2}-a_{1})( a_{2}-a_{3})( a_{2}-a_{4})( a_{2}-a_{5}) \geq 0$.
Аналогично
$(a_{4}-a_{1})( a_{4}-a_{2})( a_{4}-a_{3})( a_{4}-a_{5}) + (a_{5}-a_{1})( a_{5}-a_{2})( a_{5}-a_{3})( a_{5}-a_{4}) \geq 0$.
Наконец, $(a_{3}-a_{1})( a_{3}-a_{2})( a_{3}-a_{4})( a_{3}-a_{5}) \geq 0$ как произведение двух неотрицательных и двух неположительных сомножителей. Из этого следует справедливость неравенства в целом для $n=5$.
В несправедливости неравенства при других $n >2$ убеждаемся путем построения примера.
При $n=4$ такой пример дают числа $a_{1} = 0, a_{2} =a_{3}=a_{4}=1$, а при $n>5$ — числа $a_{1}=a_{2}=\cdots = a_{n-4} =0$,
$a_{n-3} = a_{n-2}= a_{n-1}=2,a_{n}=1$.
Докажите, что утверждение “Для любых действительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ выполняется неравенство
$(a_{1} – a_{2})(a_{1}- a_{3}) \cdots (a_{1} – a_{n}) + (a_{2} – a_{1})(a_{2} – a_{3}) \cdots (a_{2} – a_{n}) + \cdots \cdots + (a_{n} – a_{1})(a_{n}- a_{2}) \cdots (a_{n} – a_{n-1}) \geq 0$
справедливо при $n=3$ и $n=5$ и несправедливо ни при каком другом натуральном $n > 2$.
Решение:
Докажем справедливость утверждения при $n=3$. Преобразуем левую часть неравенства
$(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})+(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})+(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{2}) = a_{1}^{2} – a_{1}a_{3} - a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + a_{2}^{2} - a_{2}a_{3} - a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{3}^{2} - a_{2}a_{3} - a_{1}a_{3} + a_{1}a_{2} = a_{1}^{2} -a_{1}a_{3} - a_{1}a_{2} + a_{2}^{2} - a_{2}a_{3} + a_{3}^{2} = \frac{1}{2} ((a_{1}-a_{2})^{2} + (a_{2}-a_{3})^{2} + (a_{3}-a_{1})^{2})$.
Полученное выражение при любых $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ неотрицательно. Таким образом, при $n=3$ утверждение справедливо.
При $n=5$ применим следующее рассуждение. В силу симметричности левой части относительно $a_{i}$ и $a_{j} (i \neq j)$ можно, не ограничивая общности, считать, что $a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq a_{4} \geq a_{5}$. В таком случае
$a_{1} - a_{2} \geq 0, a_{1} – a_{3} \geq a_{2} – a_{3} \geq 0 \\,
a_{1} – a_{4} \geq a_{2} – a_{4} \geq 0, \\
a_{1} – a_{5} \geq a_{2} – a_{5} \geq 0, $;
так что $(a_{1}-a_{2})( a_{1}-a_{3})( a_{1}-a_{4})( a_{1}-a_{5}) + (a_{2}-a_{1})( a_{2}-a_{3})( a_{2}-a_{4})( a_{2}-a_{5}) \geq 0$.
Аналогично
$(a_{4}-a_{1})( a_{4}-a_{2})( a_{4}-a_{3})( a_{4}-a_{5}) + (a_{5}-a_{1})( a_{5}-a_{2})( a_{5}-a_{3})( a_{5}-a_{4}) \geq 0$.
Наконец, $(a_{3}-a_{1})( a_{3}-a_{2})( a_{3}-a_{4})( a_{3}-a_{5}) \geq 0$ как произведение двух неотрицательных и двух неположительных сомножителей. Из этого следует справедливость неравенства в целом для $n=5$.
В несправедливости неравенства при других $n >2$ убеждаемся путем построения примера.
При $n=4$ такой пример дают числа $a_{1} = 0, a_{2} =a_{3}=a_{4}=1$, а при $n>5$ — числа $a_{1}=a_{2}=\cdots = a_{n-4} =0$,
$a_{n-3} = a_{n-2}= a_{n-1}=2,a_{n}=1$.
