Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1038
2015-02-14 
На плоскости заданы 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Рассматриваются все возможные треугольники с вершинами в этих точках. Докажите, что среди них будет не более 70% остроугольных треугольников.
Решение:
Лемма. Если имеется 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то можно выбрать не менее трех неостроугольных треугольников с вершинами в этих точках.
Пусть выпуклая оболочка этих точек—треугольник. Тогда внутри треугольника будут лежать две из пяти точек, пусть, например, точки $D$ и $E$ (рис.). Тогда каждая из этих точек служит вершиной трех треугольников и, по крайней мере, два из них неостроугольные. Следовательно, в этом случае всего не менее
четырех неостроугольных треугольников.
Пусть выпуклая оболочка пяти точек—выпуклый четырехугольник (рис.). Тогда, по крайней мере, один треугольник с вершиной в этих точках неостроугольный. Одна из пяти точек, например $E$, лежит внутри четырехугольника, а значит, внутри одного из треугольников (на диагонали она лежать не может, так как по условию никакие три точки не лежат на одной прямой). Пусть Е лежит внутри треугольника ABC. Значит, по крайней мере, два из трех треугольников АВЕ, ВЕС, АЕС неостроугольные. Следовательно, всего не менее трех неостроугольных треугольников.
Пусть, наконец, выпуклая оболочка – выпуклый пятиугольник. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $180^{\circ} \cdot 3 = 540^{\circ}$. В этом случае по крайней мере два угла пятиугольника неострые.
Пусть вершины двух неострых углов прилежат к одной стороне. Например, к $AB$. Рассмотрим четырехугольник $BCDE$ (рис.). Хотя бы один из его углов неострый. Значит, и в этом случае найдутся хотя бы три неостроугольных треугольника.
Пусть вершины неострых углов $A$ и $C$ не прилежат к одной стороне (рис.). Тогда рассмотрим четырехугольник $ACDE$. Хотя бы один из его углов неострый. Значит, и в этом случае имеется хотя бы три неостроугольных треугольника.
Лемма полностью доказана.
По доказанной лемме из 100 точек можно выбрать $3 \cdot C_{100}^{5}$ неостроугольных треугольников. Но один и тот же треугольник можно составить из разных пяти точек, т. е. он войдет в $C_{97}^{2}$ пятков точек. Таким образом, неостроугольных треугольников можно выбрать не меньше чем $\frac{3 \cdot C^{5}_{100}}{C_{97}^{2}}$, а всего треугольников $C_{100}^{3}$. Значит, остроугольных не больше $C_{100}^{3} - \frac{3 \cdot C^{5}_{100}}{C_{97}^{2}}$. Отношение их числа к общему числу треугольников будет равно
$\left ( \right ) : C_{100}^{3} = 1 - \frac{}{} = 1 - \frac{3 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 98} = 1 - \frac{3}{10} = 0.7$,
что и требовалось доказать.
На плоскости заданы 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Рассматриваются все возможные треугольники с вершинами в этих точках. Докажите, что среди них будет не более 70% остроугольных треугольников.
Решение:
Лемма. Если имеется 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то можно выбрать не менее трех неостроугольных треугольников с вершинами в этих точках.
Пусть выпуклая оболочка этих точек—треугольник. Тогда внутри треугольника будут лежать две из пяти точек, пусть, например, точки $D$ и $E$ (рис.). Тогда каждая из этих точек служит вершиной трех треугольников и, по крайней мере, два из них неостроугольные. Следовательно, в этом случае всего не менее
четырех неостроугольных треугольников.
Пусть выпуклая оболочка пяти точек—выпуклый четырехугольник (рис.). Тогда, по крайней мере, один треугольник с вершиной в этих точках неостроугольный. Одна из пяти точек, например $E$, лежит внутри четырехугольника, а значит, внутри одного из треугольников (на диагонали она лежать не может, так как по условию никакие три точки не лежат на одной прямой). Пусть Е лежит внутри треугольника ABC. Значит, по крайней мере, два из трех треугольников АВЕ, ВЕС, АЕС неостроугольные. Следовательно, всего не менее трех неостроугольных треугольников.
Пусть, наконец, выпуклая оболочка – выпуклый пятиугольник. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $180^{\circ} \cdot 3 = 540^{\circ}$. В этом случае по крайней мере два угла пятиугольника неострые.
Пусть вершины двух неострых углов прилежат к одной стороне. Например, к $AB$. Рассмотрим четырехугольник $BCDE$ (рис.). Хотя бы один из его углов неострый. Значит, и в этом случае найдутся хотя бы три неостроугольных треугольника.
Пусть вершины неострых углов $A$ и $C$ не прилежат к одной стороне (рис.). Тогда рассмотрим четырехугольник $ACDE$. Хотя бы один из его углов неострый. Значит, и в этом случае имеется хотя бы три неостроугольных треугольника.
Лемма полностью доказана.
По доказанной лемме из 100 точек можно выбрать $3 \cdot C_{100}^{5}$ неостроугольных треугольников. Но один и тот же треугольник можно составить из разных пяти точек, т. е. он войдет в $C_{97}^{2}$ пятков точек. Таким образом, неостроугольных треугольников можно выбрать не меньше чем $\frac{3 \cdot C^{5}_{100}}{C_{97}^{2}}$, а всего треугольников $C_{100}^{3}$. Значит, остроугольных не больше $C_{100}^{3} - \frac{3 \cdot C^{5}_{100}}{C_{97}^{2}}$. Отношение их числа к общему числу треугольников будет равно
$\left ( \right ) : C_{100}^{3} = 1 - \frac{}{} = 1 - \frac{3 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 98} = 1 - \frac{3}{10} = 0.7$,
что и требовалось доказать.
