Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1036
2015-02-14 
Найдите все положительные целые числа $n$ такие, что множество $\{ n; n+1; n+2; n+3; n+4; n+5 \}$ можно разделить на два множества так, что произведение всех элементов одного из них равно произведению всех элементов другого.
Решение:
Среди 6 последовательных натуральных чисел по крайней
мере одно должно делиться на 5. Если эти числа обладают указанным в задаче свойством, то, значит, два из них делятся на 5. Такими числами могут быть $n$ и $n+5$.
Покажем, что произведение любых двух чисел больше каждого из остальных. Для этого достаточно показать, что $n(n+1) > n+5$. Действительно, разность $n(n+1) – (n+5) = n^{2} - 5$ при $ n \geq 5$ всегда положительна. Следовательно, $n(n+1) > n+5$. Из этого следует, что каждое произведение содержит ровно 3 сомножителя. В таком случае имеется 6 возможностей объединения 6 чисел в 2 произведения, учитывая, что меньшее число $n$ и большее $n+5$ должны входить в разные произведения (вследствие их кратности числу 5).
1) $n(n+1)(n+2)$ и $(n+3)(n+4)(n+5)$;
2) $n(n+1)(n+3)$ и $(n+2)(n+4)(n+5)$;
3) $n(n+1)(n+4)$ и $(n+2)(n+3)(n+5)$;
4) $n(n+2)(n+3)$ и $(n+1)(n+4)(n+5)$;
5) $n(n+2)(n+4)$ и $(n+1)(n+3)(n+5)$;
6) $n(n+3)(n+4)$ и $(n+1)(n+2)(n+5)$.
Случаи 1)—5) невозможны, так как каждый из сомножителей второго произведения больше соответствующего сомножителя первого произведения, а следовательно, все второе произведение больше первого произведения.
Покажем, что и случай 6) невозможен. Пусть $n(n+3)(n+4) = (n+1)(n+2)(n+5)$. Tогда $n^{3} + 7n^{2} + 12n = n^{3} + 8n^{2} +17n + 10$ не имеет действительных корней. Поэтому не существует положительных чисел, обладающих указанным в задаче свойством.
Найдите все положительные целые числа $n$ такие, что множество $\{ n; n+1; n+2; n+3; n+4; n+5 \}$ можно разделить на два множества так, что произведение всех элементов одного из них равно произведению всех элементов другого.
Решение:
Среди 6 последовательных натуральных чисел по крайней
мере одно должно делиться на 5. Если эти числа обладают указанным в задаче свойством, то, значит, два из них делятся на 5. Такими числами могут быть $n$ и $n+5$.
Покажем, что произведение любых двух чисел больше каждого из остальных. Для этого достаточно показать, что $n(n+1) > n+5$. Действительно, разность $n(n+1) – (n+5) = n^{2} - 5$ при $ n \geq 5$ всегда положительна. Следовательно, $n(n+1) > n+5$. Из этого следует, что каждое произведение содержит ровно 3 сомножителя. В таком случае имеется 6 возможностей объединения 6 чисел в 2 произведения, учитывая, что меньшее число $n$ и большее $n+5$ должны входить в разные произведения (вследствие их кратности числу 5).
1) $n(n+1)(n+2)$ и $(n+3)(n+4)(n+5)$;
2) $n(n+1)(n+3)$ и $(n+2)(n+4)(n+5)$;
3) $n(n+1)(n+4)$ и $(n+2)(n+3)(n+5)$;
4) $n(n+2)(n+3)$ и $(n+1)(n+4)(n+5)$;
5) $n(n+2)(n+4)$ и $(n+1)(n+3)(n+5)$;
6) $n(n+3)(n+4)$ и $(n+1)(n+2)(n+5)$.
Случаи 1)—5) невозможны, так как каждый из сомножителей второго произведения больше соответствующего сомножителя первого произведения, а следовательно, все второе произведение больше первого произведения.
Покажем, что и случай 6) невозможен. Пусть $n(n+3)(n+4) = (n+1)(n+2)(n+5)$. Tогда $n^{3} + 7n^{2} + 12n = n^{3} + 8n^{2} +17n + 10$ не имеет действительных корней. Поэтому не существует положительных чисел, обладающих указанным в задаче свойством.
