Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1033
2015-02-14 
Дан треугольник $ABC, M$ — внутренняя точка стороны $AB$. Пусть $r_{1}, r_{2}, r$ — радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники $AMC, BMC, ABC; \rho_{1}, \rho_{2} \rho$ — радиусы окружностей: а) лежащих внутри угла $ACB$, б) являющихся вневписанными соответственно для треугольников $AMC, BMC, ABC$.
Докажите, что $\frac{r_{1} \cdot r_{2}}{ \rho_{1} \cdot \rho_{2}} = \frac{r}{ \rho}$.
Решение:
Лемма. Пусть $\hat{ABC} = \beta, \hat{BAC} = \alpha, O$ — центр вписанной окружности радиуса $r, O_{1}$ — центр вневписанной окружности радиуса $\rho$. Тогда (Рис.)
$\frac{r}{\rho} = tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\beta}{2}$.
Доказательство. Так как $\hat{OBA} = \frac{\beta}{2}, \hat{OAB} = \frac{\alpha}{2}, OA \perp O_{1}A, OB \perp O_{1}B$, то
$|AB| =|AN| + |NB| = \frac{r}{tg \frac{\alpha}{2}} + \frac{r}{tg \frac{\beta}{2}} = \frac{r}{tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\beta}{2}} \left ( tg \frac{\beta}{2} + tg \frac{\alpha}{2} \right )$.
С другой стороны,
$|AB| = |AK| + |KB| = \rho tg \frac{\alpha}{2} + \rho tg \frac{\beta}{2} = \rho \left ( tg \frac{\alpha}{2} + tg \frac{\beta}{2} \right )$.
Следовательно,
$\frac{r}{tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{\beta}{2}} \left (tg \frac{\alpha}{2} + tg \frac{\beta}{2}\right ) = \rho \left ( tg \frac{\alpha}{2} + tg \frac{\beta}{2} \right )$.
Откуда $\frac{r}{\rho} = tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{ \beta}{2}$.
Доказательство утверждения задачи. Пусть $ \hat{CMB} = \gamma$ (рис.). Тогда по лемме
$\frac{r_{1}}{\rho_{1}} = tg \frac{\beta}{2} tg \frac{\gamma}{2}$.
Так как $\hat{CMA} = \pi - \gamma$, то по лемме
$\frac{r_{2}}{\rho_{2}} = tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{\pi \gamma}{2} = tg \frac{\alpha}{2} ctg \frac{\gamma}{2}$.
Перемножив эти равенства почленно, получим:
$\frac{r_{1}}{\rho_{1}} \cdot \frac{r_{2}}{\rho_{2}} = tg \frac{\beta}{2} tg \frac{\gamma}{2} tg \frac{\alpha}{2} ctg \frac{\gamma}{2} = tg \frac{\beta}{2} tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{r}{\rho}$.
Утверждение доказано.
Дан треугольник $ABC, M$ — внутренняя точка стороны $AB$. Пусть $r_{1}, r_{2}, r$ — радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники $AMC, BMC, ABC; \rho_{1}, \rho_{2} \rho$ — радиусы окружностей: а) лежащих внутри угла $ACB$, б) являющихся вневписанными соответственно для треугольников $AMC, BMC, ABC$.
Докажите, что $\frac{r_{1} \cdot r_{2}}{ \rho_{1} \cdot \rho_{2}} = \frac{r}{ \rho}$.
Решение:
Лемма. Пусть $\hat{ABC} = \beta, \hat{BAC} = \alpha, O$ — центр вписанной окружности радиуса $r, O_{1}$ — центр вневписанной окружности радиуса $\rho$. Тогда (Рис.)
$\frac{r}{\rho} = tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\beta}{2}$.
Доказательство. Так как $\hat{OBA} = \frac{\beta}{2}, \hat{OAB} = \frac{\alpha}{2}, OA \perp O_{1}A, OB \perp O_{1}B$, то
$|AB| =|AN| + |NB| = \frac{r}{tg \frac{\alpha}{2}} + \frac{r}{tg \frac{\beta}{2}} = \frac{r}{tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\beta}{2}} \left ( tg \frac{\beta}{2} + tg \frac{\alpha}{2} \right )$.
С другой стороны,
$|AB| = |AK| + |KB| = \rho tg \frac{\alpha}{2} + \rho tg \frac{\beta}{2} = \rho \left ( tg \frac{\alpha}{2} + tg \frac{\beta}{2} \right )$.
Следовательно,
$\frac{r}{tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{\beta}{2}} \left (tg \frac{\alpha}{2} + tg \frac{\beta}{2}\right ) = \rho \left ( tg \frac{\alpha}{2} + tg \frac{\beta}{2} \right )$.
Откуда $\frac{r}{\rho} = tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{ \beta}{2}$.
Доказательство утверждения задачи. Пусть $ \hat{CMB} = \gamma$ (рис.). Тогда по лемме
$\frac{r_{1}}{\rho_{1}} = tg \frac{\beta}{2} tg \frac{\gamma}{2}$.
Так как $\hat{CMA} = \pi - \gamma$, то по лемме
$\frac{r_{2}}{\rho_{2}} = tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{\pi \gamma}{2} = tg \frac{\alpha}{2} ctg \frac{\gamma}{2}$.
Перемножив эти равенства почленно, получим:
$\frac{r_{1}}{\rho_{1}} \cdot \frac{r_{2}}{\rho_{2}} = tg \frac{\beta}{2} tg \frac{\gamma}{2} tg \frac{\alpha}{2} ctg \frac{\gamma}{2} = tg \frac{\beta}{2} tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{r}{\rho}$.
Утверждение доказано.
