Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 103
2014-06-07 
Определить сумму всех натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых цифры образуют возрастающую или убывающую последовательность.
Решение:
Обозначим через А и В множества натуральных чисел со строго возрастающими и соответственно со строго убывающими цифрами. Сумму всех чисел из какого-либо множества М будем обозначать через $S(M)$. Множество В разобьем на два непересекающихся подмножества $B_{0}$ и $B_{1}$ чисел, которые оканчиваются цифрой 0 и соответственно не оканчиваются цифрой 0; при этом
$S(B)=S(B_{0}+S_{B_{1}})$.
Если сопоставить друг другу числа $b \in B_{1}$ и $(10b) \in B_{0}$, то получится взаимно однозначное соответствие между множествами $B_{1}$ и $B_{0}$; при этом
$S(B_{0})=10S(B_{1})$,
а значит,
$S(B)=11S(B_{1})$,
Далее, если сопоставить друг другу числа
$a=\overline{a_{1} \cdots a_{k}} \in A$ и $b= \overline{(10-a_{1}) \cdots (10-a_{k})} \in B_{1}$
(при этом
$a+b=(10/9)(10^{k}-1)$,
то получится также взаимно однозначное соответствие между множествами $A$ и $B_{1}$. Поскольку каждое число, принадлежащее множеству $A$, получено из числа 123456789 выбрасыванием каких-либо цифр и при каждом значении $k = 1, 2, \cdots , 9$ в множестве $A$ имеется ровно $C^{k}_{9}$ k-значных чисел, то
$l = S(A)+A(B_{1})= \sum_{k=1}^{9} C^{k}_{9} (10/9)(10^{k}-1)=$
$= (10/90) \left ( \sum^{9}_{k=0}C^{k}_{9}10^{k} - \sum^{9}_{k=0}C^{k}_{9} \right ) = (10/9)((1+10)^{9}-(1+1)^{9}) =$
Обозначим через $B_{2}$ подмножество чисел из множества $B$, начинающихся цифрой 9, а множество всех остальных чисел из множества $B$ вместе с числом 0 обозначим через $B_{3}$ (при этом $S (B) = S (B_{2}) + S (B_{3}))$. Тогда между числами
$a=\overline{a_{1} \cdots a_{k}} \in A$ и $b= \overline{(9-a_{1}) \cdots (9-a_{k})} \in B_{3}$
существует взаимно однозначное соответствие, при котором $a + b = 10^{k} – 1$. Следовательно,
$m = S(A)+S(B_{3}) = \sum_{k=1}^{9} C^{k}_{9}(10^{k}-1)=11^{9}-2^{9}$.
Наконец, если каждому числу
$b= \overline{9b_{1} \cdots b_{k}} \in B_{2}$
поставить в соответствие число
$ a=\overline{(9-b_{1}) \cdots (9 - b_{k})} \in A$
при $k \geq 1$ и число 0 при $k=0$, то получится взаимно однозначное соответствие между множествами $B_{2}$ и $A \bigcup {0}$, при котором $a + b = 10^{k+1} – 1$. Следовательно,
$n=S(A)+S(B_{2}) = \sum_{k=0}^{9} C^{k}_{9} (10^{k+1}-1) = 10 \cdot 11^{9} – 2 ^{9}$
и
$m+n = S(A) + S(B_{3}) + S(A) + S(B_{2}) = 2S(A)+S(B)$.
Итак, получаем систему
$
\begin{cases}
S(A)+ (1/11)S(B)=l = (10/9)(11^{9}-2^{9}),&\text{}\\
2S(A)+S(B)=m+n=11^{10}-2^{10},&\text{}
\end{cases}
$
из которой находим
$S(A)=(1/9)(11l – m- n), S(B)=(11/9)(m+n-2l)$.
В множествах $A$ и $B$ есть 9 общих элементов, а именно, однозначные числа, сумма которых равна 45. Поэтому вся искомая сумма равна
$S(A)+S(B)-45 = \frac{10}{9} (m+n) - \frac{11}{9} l -45=$
$= \frac{10}{9} (11^{10}-2^{10}) - \frac{10}{81} \cdot 11^{10} + \frac{55}{81} \cdot 2^{10} – 45 = \frac{80}{81} \cdot 11^{10} - \frac{35}{81} \cdot 2^{10} - 45$.
Определить сумму всех натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых цифры образуют возрастающую или убывающую последовательность.
Решение:
Обозначим через А и В множества натуральных чисел со строго возрастающими и соответственно со строго убывающими цифрами. Сумму всех чисел из какого-либо множества М будем обозначать через $S(M)$. Множество В разобьем на два непересекающихся подмножества $B_{0}$ и $B_{1}$ чисел, которые оканчиваются цифрой 0 и соответственно не оканчиваются цифрой 0; при этом
$S(B)=S(B_{0}+S_{B_{1}})$.
Если сопоставить друг другу числа $b \in B_{1}$ и $(10b) \in B_{0}$, то получится взаимно однозначное соответствие между множествами $B_{1}$ и $B_{0}$; при этом
$S(B_{0})=10S(B_{1})$,
а значит,
$S(B)=11S(B_{1})$,
Далее, если сопоставить друг другу числа
$a=\overline{a_{1} \cdots a_{k}} \in A$ и $b= \overline{(10-a_{1}) \cdots (10-a_{k})} \in B_{1}$
(при этом
$a+b=(10/9)(10^{k}-1)$,
то получится также взаимно однозначное соответствие между множествами $A$ и $B_{1}$. Поскольку каждое число, принадлежащее множеству $A$, получено из числа 123456789 выбрасыванием каких-либо цифр и при каждом значении $k = 1, 2, \cdots , 9$ в множестве $A$ имеется ровно $C^{k}_{9}$ k-значных чисел, то
$l = S(A)+A(B_{1})= \sum_{k=1}^{9} C^{k}_{9} (10/9)(10^{k}-1)=$
$= (10/90) \left ( \sum^{9}_{k=0}C^{k}_{9}10^{k} - \sum^{9}_{k=0}C^{k}_{9} \right ) = (10/9)((1+10)^{9}-(1+1)^{9}) =$
Обозначим через $B_{2}$ подмножество чисел из множества $B$, начинающихся цифрой 9, а множество всех остальных чисел из множества $B$ вместе с числом 0 обозначим через $B_{3}$ (при этом $S (B) = S (B_{2}) + S (B_{3}))$. Тогда между числами
$a=\overline{a_{1} \cdots a_{k}} \in A$ и $b= \overline{(9-a_{1}) \cdots (9-a_{k})} \in B_{3}$
существует взаимно однозначное соответствие, при котором $a + b = 10^{k} – 1$. Следовательно,
$m = S(A)+S(B_{3}) = \sum_{k=1}^{9} C^{k}_{9}(10^{k}-1)=11^{9}-2^{9}$.
Наконец, если каждому числу
$b= \overline{9b_{1} \cdots b_{k}} \in B_{2}$
поставить в соответствие число
$ a=\overline{(9-b_{1}) \cdots (9 - b_{k})} \in A$
при $k \geq 1$ и число 0 при $k=0$, то получится взаимно однозначное соответствие между множествами $B_{2}$ и $A \bigcup {0}$, при котором $a + b = 10^{k+1} – 1$. Следовательно,
$n=S(A)+S(B_{2}) = \sum_{k=0}^{9} C^{k}_{9} (10^{k+1}-1) = 10 \cdot 11^{9} – 2 ^{9}$
и
$m+n = S(A) + S(B_{3}) + S(A) + S(B_{2}) = 2S(A)+S(B)$.
Итак, получаем систему
$
\begin{cases}
S(A)+ (1/11)S(B)=l = (10/9)(11^{9}-2^{9}),&\text{}\\
2S(A)+S(B)=m+n=11^{10}-2^{10},&\text{}
\end{cases}
$
из которой находим
$S(A)=(1/9)(11l – m- n), S(B)=(11/9)(m+n-2l)$.
В множествах $A$ и $B$ есть 9 общих элементов, а именно, однозначные числа, сумма которых равна 45. Поэтому вся искомая сумма равна
$S(A)+S(B)-45 = \frac{10}{9} (m+n) - \frac{11}{9} l -45=$
$= \frac{10}{9} (11^{10}-2^{10}) - \frac{10}{81} \cdot 11^{10} + \frac{55}{81} \cdot 2^{10} – 45 = \frac{80}{81} \cdot 11^{10} - \frac{35}{81} \cdot 2^{10} - 45$.
