Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1028
2015-02-12 
Пусть $a_{1},a_{2}, \cdots, a_{n}$ — действительные постоянные, $x$ — действительное переменное и
$f(x) = \cos (a_{1} + x) + \frac{ \cos (a_{2} + x)}{2} + \frac{\cos (a_{3} + x)}{2^{2}} + \cdots + \frac{\cos(a_{n}+x)}{2^{n-1}}$.
Докажите, что из $f(x_{1}) = f(x_{2}) = 0$ следует, что $x_{1} – x_{2} = m \pi$, где $m$ — целое число.
Решение:
.
$f(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\cos (a_{i} + x)}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{ \cos [(a_{i} + x_{1}) + (x-x_{1})]}{2^{i-1}} = \cos(x-x_{1}) \sum_{i=1}^{n} \frac{\cos (a_{i} + x_{1})}{2^{i-1}} - \sin (x-x_{1}) \sum_{i=1}^{n} \frac{\sin (a_{i} + x_{1})}{2^{i-1}} = \cos (x-x_{1})f(x_{1}) + \sin (x-x_{1}) \cdot f \left ( \frac{ \pi}{2} + x_{1} \right )$.
Ho $f(x_{1}) = 0$ по условию. Если $f \left ( \frac{ \pi}{2} + x_{1} \right ) = 0$, то $f(x) = 0$, но
$f( - a_{1}) = \cos 0 + \sum_{i=2}^{n} \frac{\cos (a_{i} + a_{1})}{2^{i-1}} \geq 1 - \sum_{i=1}^{n} \left | \frac{\cos (a_{i} + a_{1})}{2^{i-1}} \right | \geq 1 - \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i-1}} > 0$.
Следовательно, $f(x) \not \equiv 0$ и $f \left ( \frac{ \pi}{2} + x_{1} \right ) \neq 0$. Значит, из условия $f(x_{2}) = 0$ следует, что $\sin (x_{2}-x_{1}) = 0$, т. е. $x_{2} – x_{1} = m \pi$.
Пусть $a_{1},a_{2}, \cdots, a_{n}$ — действительные постоянные, $x$ — действительное переменное и
$f(x) = \cos (a_{1} + x) + \frac{ \cos (a_{2} + x)}{2} + \frac{\cos (a_{3} + x)}{2^{2}} + \cdots + \frac{\cos(a_{n}+x)}{2^{n-1}}$.
Докажите, что из $f(x_{1}) = f(x_{2}) = 0$ следует, что $x_{1} – x_{2} = m \pi$, где $m$ — целое число.
Решение:
.
$f(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\cos (a_{i} + x)}{2^{i-1}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{ \cos [(a_{i} + x_{1}) + (x-x_{1})]}{2^{i-1}} = \cos(x-x_{1}) \sum_{i=1}^{n} \frac{\cos (a_{i} + x_{1})}{2^{i-1}} - \sin (x-x_{1}) \sum_{i=1}^{n} \frac{\sin (a_{i} + x_{1})}{2^{i-1}} = \cos (x-x_{1})f(x_{1}) + \sin (x-x_{1}) \cdot f \left ( \frac{ \pi}{2} + x_{1} \right )$.
Ho $f(x_{1}) = 0$ по условию. Если $f \left ( \frac{ \pi}{2} + x_{1} \right ) = 0$, то $f(x) = 0$, но
$f( - a_{1}) = \cos 0 + \sum_{i=2}^{n} \frac{\cos (a_{i} + a_{1})}{2^{i-1}} \geq 1 - \sum_{i=1}^{n} \left | \frac{\cos (a_{i} + a_{1})}{2^{i-1}} \right | \geq 1 - \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i-1}} > 0$.
Следовательно, $f(x) \not \equiv 0$ и $f \left ( \frac{ \pi}{2} + x_{1} \right ) \neq 0$. Значит, из условия $f(x_{2}) = 0$ следует, что $\sin (x_{2}-x_{1}) = 0$, т. е. $x_{2} – x_{1} = m \pi$.
