Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1027
2015-02-12 
Докажите, что существует бесконечное множество натуральных чисел $a$ со следующим свойством: число $z=n^{4}+a$ не является простым ни для какого натурального $n$.
Решение:
Пусть $a=4k^{4}$, где $k>1$ натуральное. Тогда
$a = n^{4} + a = n^{4} + 4k^{4} = n^{4} + 4n^{2}k^{2} + 4k^{4} – 4n^{2}k^{2} = (n^{2} + 2k^{2})^{2} – 4n^{2}k^{2} = (n^{2} + 2k^{2} – 2nk)(n^{2} + 2k^{2} + 2nk)$;
$n^{2} + 2k^{2} – 2nk = (n-k)^{2} + k^{2} \geq k^{2} > 1$;
$ n^{2} + 2k^{2} + 2nk = (n+k)^{2} + k^{2} > k^{2} > 1$,
т.е $z$ является произведением двух сомножителей, каждый из которых больше 1. Значит, $z$ - составное для бесконечного множества натуральных $a=4k^{2}$, где $k=2,3, \cdots$.
Докажите, что существует бесконечное множество натуральных чисел $a$ со следующим свойством: число $z=n^{4}+a$ не является простым ни для какого натурального $n$.
Решение:
Пусть $a=4k^{4}$, где $k>1$ натуральное. Тогда
$a = n^{4} + a = n^{4} + 4k^{4} = n^{4} + 4n^{2}k^{2} + 4k^{4} – 4n^{2}k^{2} = (n^{2} + 2k^{2})^{2} – 4n^{2}k^{2} = (n^{2} + 2k^{2} – 2nk)(n^{2} + 2k^{2} + 2nk)$;
$n^{2} + 2k^{2} – 2nk = (n-k)^{2} + k^{2} \geq k^{2} > 1$;
$ n^{2} + 2k^{2} + 2nk = (n+k)^{2} + k^{2} > k^{2} > 1$,
т.е $z$ является произведением двух сомножителей, каждый из которых больше 1. Значит, $z$ - составное для бесконечного множества натуральных $a=4k^{2}$, где $k=2,3, \cdots$.
