Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1026
2015-02-12 
Пусть $[x]$ означает целую часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Вычислите сумму
$\left [ \frac{n+1}{2} \right ] + \left [ \frac{n+2}{2^{2}} \right ] + \cdots + \left [ \frac{n+2^{k}}{2^{k+1}} \right ] + \cdots$
для каждого целого положительного $n$ и докажите справедливость полученной формулы.
Решение:
Peшeниe 1. Используем лемму
$\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] –[x]$
Доказательство. Любое число $x$ можно представить либо как $x=k+ \alpha$, либо как $x = k + \frac{1}{2} + \alpha$, где $k$ целое и $0 \leq \alpha < \frac{1}{2}$.
Для $x = k + \alpha: \left [ k + \alpha + \frac{1}{2} \right ] = k; [2k+2 \alpha] = 2k; [k + \alpha] = k,$
т.е. $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] – [x]$.
Для $x = k + \frac{1}{2} + \alpha: \left [ k + \frac{1}{2} + \alpha + \frac{1}{2} \right ] = k+1$;
$[2k + 2 \alpha + 1] = 2k+1; \left [ k + \frac{1}{2} + \alpha \right ] = k$, т. е. и в этом случае $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] – [x]$. Лемма доказана.
Перепишем сумму и применим лемму:
$\left [ \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac{n}{4} + \frac{1}{2} \right ] + \cdots + \left [ \frac{n}{2^{k+1}} + \frac{1}{2} \right ] + \cdots = [n] - \left [ \frac{n}{2} \right ] + \left [ \frac{n}{2} \right ] - \left [ \frac{n}{4} \right ] + \cdots + \left [ \frac{n}{2^{k}} \right ] - \left [ \frac{n}{2^{k+1}} \right ] + \cdots = n$,
так как при $k > log_{2}n$ член $\left [ \frac{n}{2^{k}} \right ]$ и все последующие равны нулю.
Решение 2. Заметим, что, как только становится $2^{i} > n$, этот член и все последующие обращаются в нуль, поэтому выписанный в условии ряд является конечным.
При переходе от $n = k—1$ к $n=k$ каждый член ряда, очевидно, или остается тем самым, или увеличивается на единицу. Если член увеличился на единицу, тогда для некоторого целого $m$
$\frac{k-1+2^{i}}{2^{i+1}} < m \leq \frac{k+2^{i}}{2^{i+1}}$.
Следовательно, $k-1 < m \cdot 2^{i+1} – 2^{i} = 2^{i} (2m-1) \leq k$.
Отсюда следует, что целое число $k=2^{i}(2m-1)$. Но для любого $k$ имеется ровно одно значение показателя $i(i \geq 0)$, для которого это верно. И обратно, для $k=2^{i}(2m-1)$ соответствующий член увеличивается на единицу. Таким образом, поскольку при $m=1$ сумма равна единице и сумма увеличивается на единицу; когда $n$ увеличивается на единицу, то сумма ряда равна $n$.
Пусть $[x]$ означает целую часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Вычислите сумму
$\left [ \frac{n+1}{2} \right ] + \left [ \frac{n+2}{2^{2}} \right ] + \cdots + \left [ \frac{n+2^{k}}{2^{k+1}} \right ] + \cdots$
для каждого целого положительного $n$ и докажите справедливость полученной формулы.
Решение:
Peшeниe 1. Используем лемму
$\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] –[x]$
Доказательство. Любое число $x$ можно представить либо как $x=k+ \alpha$, либо как $x = k + \frac{1}{2} + \alpha$, где $k$ целое и $0 \leq \alpha < \frac{1}{2}$.
Для $x = k + \alpha: \left [ k + \alpha + \frac{1}{2} \right ] = k; [2k+2 \alpha] = 2k; [k + \alpha] = k,$
т.е. $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] – [x]$.
Для $x = k + \frac{1}{2} + \alpha: \left [ k + \frac{1}{2} + \alpha + \frac{1}{2} \right ] = k+1$;
$[2k + 2 \alpha + 1] = 2k+1; \left [ k + \frac{1}{2} + \alpha \right ] = k$, т. е. и в этом случае $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] – [x]$. Лемма доказана.
Перепишем сумму и применим лемму:
$\left [ \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac{n}{4} + \frac{1}{2} \right ] + \cdots + \left [ \frac{n}{2^{k+1}} + \frac{1}{2} \right ] + \cdots = [n] - \left [ \frac{n}{2} \right ] + \left [ \frac{n}{2} \right ] - \left [ \frac{n}{4} \right ] + \cdots + \left [ \frac{n}{2^{k}} \right ] - \left [ \frac{n}{2^{k+1}} \right ] + \cdots = n$,
так как при $k > log_{2}n$ член $\left [ \frac{n}{2^{k}} \right ]$ и все последующие равны нулю.
Решение 2. Заметим, что, как только становится $2^{i} > n$, этот член и все последующие обращаются в нуль, поэтому выписанный в условии ряд является конечным.
При переходе от $n = k—1$ к $n=k$ каждый член ряда, очевидно, или остается тем самым, или увеличивается на единицу. Если член увеличился на единицу, тогда для некоторого целого $m$
$\frac{k-1+2^{i}}{2^{i+1}} < m \leq \frac{k+2^{i}}{2^{i+1}}$.
Следовательно, $k-1 < m \cdot 2^{i+1} – 2^{i} = 2^{i} (2m-1) \leq k$.
Отсюда следует, что целое число $k=2^{i}(2m-1)$. Но для любого $k$ имеется ровно одно значение показателя $i(i \geq 0)$, для которого это верно. И обратно, для $k=2^{i}(2m-1)$ соответствующий член увеличивается на единицу. Таким образом, поскольку при $m=1$ сумма равна единице и сумма увеличивается на единицу; когда $n$ увеличивается на единицу, то сумма ряда равна $n$.
