ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-02-12   
Функция $f$, определенная при всех действительных значениях аргумента и принимающая действительные значения, при всех $x$ удовлетворяет условию
$f(x+a)= \frac{1}{2} + \sqrt{f(x)-(f(x))^{2}}$,
где $a$ — некоторое положительное число.
а) Доказать, что функция $f$ периодическая (т. е. существует
некоторое $b>0$, такое, что $f(x+b)=f(x)$ для всех $x$).
б) Приведите пример такой функции $f$, отличной от тождественной константы, для $a=1$.


Решение:


a) Докажем, что функция имеет период $2a$. Из условия видно, что $f(x+a) > \frac{1}{2}$ для всех $x$. Перенесем $\frac{1}{2}$ в левую часть и возведем в квадрат:
$\left ( f(x+a) - \frac{1}{2} \right )^{2} = f(x) – (f(x))^{2}$,
или $(f(x+a))^{2} + f(x+a) = f(x) – (f(x))^{2} - \frac{1}{4}$. (1)
Напишем $f(x+2a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x+a) – (f(x+a))^{2}}$
и, используя (1), получим:
$f(x+2a) = \frac{1}{2} + \sqrt{(f(x))^{2} – f(x) + \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} + \left | f(x) - \frac{1}{2} \right | = f(x)$,
так как $f(x) > \frac{1}{2}$.
б) Как легко проверить, условию при $a=1$ (рис.) удовлетворяет функция

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, 2n \leq x < 2n+1, &\\
1, 2n+1 \leq x < 2n+2,\\ \end{cases}$
$n=0; \pm 1; \pm 2, \cdots$.

Можно указать и более сложный пример (рис.):
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2} - n, 2n \leq x \leq 2n+1 &\\
\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{2}x – n - \left ( \frac{1}{2}x - n \right )^{2}}, 2n+1 \leq x < 2n+2,\\ \end{cases}$
$n=0; \pm 1; \pm 2, \cdots$.