Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1023
2015-02-12 
Дана система уравнений с переменными $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$:
$\begin{cases}
ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=x_{2},&\\
ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=x_{3},&\\
\cdots,&\\
ax_{n-1}^{2}+bx_{n-1}+c=x_{n},&\\
ax_{n}^{2}+bx_{n}+c=x_{1},&
\end{cases}
$
где $a,b,c$ — действительные числа, $a \neq 0$. Докажите, что система:
а) не имеет действительных решений, если
$(b-1)^{2} – 4ac < 0$;
б) имеет единственное действительное решение, если
$(b-1)^{2} – 4ac <= 0$;
в) имеет более одного действительного решения, если
$(b-1)^{2} – 4ac > 0$.
Решение:
Пусть $y_{1} = x_{2} – x_{1}, y_{2} = x_{3} – x_{2}, \cdots, y_{k} = x_{k+1} – x_{k}, \cdots , y_{n-1} = x_{n} – x_{n-1}, y_{n} = x_{1} –x_{n}$.
Тогда $y_{k} = x_{k+1} – x_{k}, \cdots, y_{n-1} = x_{n}-x_{n-1}, y_{n}=x_{1}-x_{n}$, a $\sum_{k=1}^{n} y_{k} = 0$.
а) Если $(b-1)^{2} – 4ac < 0$, то многочлен $ax^{2} + (b-1)x + c$ не имеет действительных корней и принимает значения только одного знака и поэтому либо все $y_{k} > 0$, либо все $y_{k} < 0$, чего не может быть, так как $\sum_{k=1}^{n} y_{k} = 0$. Следовательно, система не имеет действительных решений.
б) Если $()^{2} – 4ac = 0$, то многочлен $ax^{2} + (b-1)x + c$ обращается в нуль только при одном значении $x$ и либо все $y_{k} \geq 0$, либо все $y_{k} \leq 0$, но так как $\sum_{k=1}^{n} y_{k} = 0$, тo все $y_{k} = ax_{k}^{2} + (b-1)x_{k} + c = 0$, и тогда $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = x_{0}$, где $x_{0}$ — единственный корень трехчлена. Следовательно, система имеет единственное действительное решение: все $x_{k}=x_{0}$.
в) Если $(b-1)^{2}-4ac > 0$, то система имеет по крайней мере два решения, а именно все $x_{k} = x_{0}^{\prime}$ и все $x_{k} = x_{0}^{\prime \prime}$, где $x_{0}^{\prime}$ и $ x_{0}^{\prime \prime} $ — корни многочлена $ax^{2} + (b-1)x + c$, поскольку $x_{0} = ax_{0}^{2} + bx_{0} + c$.
Дана система уравнений с переменными $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$:
$\begin{cases}
ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=x_{2},&\\
ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=x_{3},&\\
\cdots,&\\
ax_{n-1}^{2}+bx_{n-1}+c=x_{n},&\\
ax_{n}^{2}+bx_{n}+c=x_{1},&
\end{cases}
$
где $a,b,c$ — действительные числа, $a \neq 0$. Докажите, что система:
а) не имеет действительных решений, если
$(b-1)^{2} – 4ac < 0$;
б) имеет единственное действительное решение, если
$(b-1)^{2} – 4ac <= 0$;
в) имеет более одного действительного решения, если
$(b-1)^{2} – 4ac > 0$.
Решение:
Пусть $y_{1} = x_{2} – x_{1}, y_{2} = x_{3} – x_{2}, \cdots, y_{k} = x_{k+1} – x_{k}, \cdots , y_{n-1} = x_{n} – x_{n-1}, y_{n} = x_{1} –x_{n}$.
Тогда $y_{k} = x_{k+1} – x_{k}, \cdots, y_{n-1} = x_{n}-x_{n-1}, y_{n}=x_{1}-x_{n}$, a $\sum_{k=1}^{n} y_{k} = 0$.
а) Если $(b-1)^{2} – 4ac < 0$, то многочлен $ax^{2} + (b-1)x + c$ не имеет действительных корней и принимает значения только одного знака и поэтому либо все $y_{k} > 0$, либо все $y_{k} < 0$, чего не может быть, так как $\sum_{k=1}^{n} y_{k} = 0$. Следовательно, система не имеет действительных решений.
б) Если $()^{2} – 4ac = 0$, то многочлен $ax^{2} + (b-1)x + c$ обращается в нуль только при одном значении $x$ и либо все $y_{k} \geq 0$, либо все $y_{k} \leq 0$, но так как $\sum_{k=1}^{n} y_{k} = 0$, тo все $y_{k} = ax_{k}^{2} + (b-1)x_{k} + c = 0$, и тогда $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = x_{0}$, где $x_{0}$ — единственный корень трехчлена. Следовательно, система имеет единственное действительное решение: все $x_{k}=x_{0}$.
в) Если $(b-1)^{2}-4ac > 0$, то система имеет по крайней мере два решения, а именно все $x_{k} = x_{0}^{\prime}$ и все $x_{k} = x_{0}^{\prime \prime}$, где $x_{0}^{\prime}$ и $ x_{0}^{\prime \prime} $ — корни многочлена $ax^{2} + (b-1)x + c$, поскольку $x_{0} = ax_{0}^{2} + bx_{0} + c$.
