Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1022
2015-02-08 
Найдите все целые положительные числа $x$, произведение цифр (в десятичной записи) которых равно $x^{2}-10x-22$.
Решение:
Так как произведение цифр неотрицательно, то $x^{2} -10x – 22 \geq 0$, следовательно, $x \geq 5 + \sqrt{47} > 11$.
Докажем, что произведение цифр любого числа не больше самого числа. Пусть $x = \overline{a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}}$, тогда
$a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{n} \leq a_{1} \cdot 9^{n-1} \leq a_{1} \cdot 10^{n-1} + a_{2} \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_{n} = x$.
Отсюда вытекает, что $x^{2} – 10x – 22 \leq x$, следовательно, $x \leq \frac{11}{2} + \frac{\sqrt{209}}{2} < 13$. Таким образом, целое число $x$ удовлетворяет неравенству $11 < x < 13$. Значит, $x= 12$.
Проверка: $144 – 120 – 22 = 1 \cdot 2$.
Найдите все целые положительные числа $x$, произведение цифр (в десятичной записи) которых равно $x^{2}-10x-22$.
Решение:
Так как произведение цифр неотрицательно, то $x^{2} -10x – 22 \geq 0$, следовательно, $x \geq 5 + \sqrt{47} > 11$.
Докажем, что произведение цифр любого числа не больше самого числа. Пусть $x = \overline{a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}}$, тогда
$a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{n} \leq a_{1} \cdot 9^{n-1} \leq a_{1} \cdot 10^{n-1} + a_{2} \cdot 10^{n-2} + \cdots + a_{n} = x$.
Отсюда вытекает, что $x^{2} – 10x – 22 \leq x$, следовательно, $x \leq \frac{11}{2} + \frac{\sqrt{209}}{2} < 13$. Таким образом, целое число $x$ удовлетворяет неравенству $11 < x < 13$. Значит, $x= 12$.
Проверка: $144 – 120 – 22 = 1 \cdot 2$.
