Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1021
2015-02-08 
Докажите, что существует единственный треугольник, длины трех сторон которого — последовательные натуральные числа, а один из углов вдвое больше одного из двух других углов.
Решение:
Решение 1. По теореме синусов (рис.) имеем:
$\frac{a}{ \sin A} = \frac{b}{ \sin B} = \frac{c}{\sin C}$ или $\frac{a}{ \sin A} = \frac{b}{ \sin 2A} = \frac{c}{\sin 3A}$
так как $B=2A$ и, следовательно, $b>a$.
Обозначим $\frac{a}{\sin A} = \lambda$.
Тогда из соотношений
$a^{2} = \lambda^{2} \sin^{2} A, b^{2} = \lambda^{2} \sin^{2} 2A, c^{2} = \lambda^{2} \sin^{2} 3A $
следуют соотношения
$b^{2} – a^{2} = \lambda^{2} ( \sin^{2} 2A - \sin^{2} A), ac = \lambda^{2} \sin A \cdot \sin 3A$.
Но легко сосчитать, что
$\sin^{2} 2A –sin^{2} A= \sin A \cdot \sin 3A $,
следовательно, в рассматриваемом треугольнике мы имеем $b^{2} – a^{2} = ac$, или $b^{2} = a(a+c)$. Рассмотрим соотношение $b^{2} = a(a+c)$. Возможны следующие случаи:
1) $a=n,b=n+1, c=n+2$. Тогда $(n+1)^{2}=n(2n+2)$, т. е. $n^{2}-1=0$, откуда $n=1$ и $a=1,b=2,c=3$ — вырожденный треугольник.
2) $a=n,b=n+2,c=n+1$. Тогда $(n+2)^{2}=n(2n+1)$, т. е. $n=4$ и $a=4,b=6,c=5$ — решение задачи.
3) $c=n,a=n+1,b=n+2$, откуда $n^{2}-n-3=0$ — уравнение не имеет целых корней.
Докажем, что треугольник со сторонами $a=4,b=6,c=5$ является решением задачи, т. е. углы этого треугольника удовлетворяют условию.
Вычислим $\cos \hat{A}$ и $\cos \hat{B}$. Из теоремы косинусов получаем $\cos \hat{B}= \frac{1}{8}, \cos \hat{A} = \frac{3}{4}$, т. е. $\cos 2 \hat{A} = \cos \hat{B}$ и, следовательно, $\hat{B} = 2 \hat{A}$.
Решение 2. Проведем биссектрису $BD$ угла $B$ (рис.) и обозначим $|CD|=b_{1},|DA|=b_{2}$. Тогда $\triangle BCD \sim \triangle ABC$ и,
следовательно, $\frac{c}{b_{2}}= \frac{a}{b_{1}} = \frac{b}{a}$ , откуда $c= b_{2} \cdot \frac{b}{a}, a = b_{1} \cdot \frac{b}{a}$.
Сложив эти равенства, получим
$(b_{1} + b_{2}) \cdot \frac{b}{a} = \frac{b^{2}}{a} = c + a$ — целое число.
Так как по условию длины сторон — последовательные целые числа и $b > a$, то либо 1) $b = a+1$, либо 2) $b=a+2$.
1) $b=a+1, \frac{b^{2}}{a} = \frac{a^{2}+2a+1}{a} = a+2+ \frac{1}{a}$ и, следовательно, $a=1, b=2, c=3$ - треугольник вырожденный.
2) $b=a+2, \frac{b^{2}}{a} = \frac{a^{2}+4a+4}{a} = a+4+ \frac{4}{a}$, следовательно, $a$ — делитель 4. Поэтому либо $a=1$, либо $a=2$, либо $a=4$.
Если $a=1$, тогда $b=3$ и $c= \frac{b^{2}}{a} – a = 8$, что не удовлетворяет условию.
Если $a=2$, тогда $b=4$ и $c=6$, что тоже не удовлетворяет условию.
Если $a=4$, тогда $b=6$ и $c=5$ — решение задачи.
Докажите, что существует единственный треугольник, длины трех сторон которого — последовательные натуральные числа, а один из углов вдвое больше одного из двух других углов.
Решение:
Решение 1. По теореме синусов (рис.) имеем:
$\frac{a}{ \sin A} = \frac{b}{ \sin B} = \frac{c}{\sin C}$ или $\frac{a}{ \sin A} = \frac{b}{ \sin 2A} = \frac{c}{\sin 3A}$
так как $B=2A$ и, следовательно, $b>a$.
Обозначим $\frac{a}{\sin A} = \lambda$.
Тогда из соотношений
$a^{2} = \lambda^{2} \sin^{2} A, b^{2} = \lambda^{2} \sin^{2} 2A, c^{2} = \lambda^{2} \sin^{2} 3A $
следуют соотношения
$b^{2} – a^{2} = \lambda^{2} ( \sin^{2} 2A - \sin^{2} A), ac = \lambda^{2} \sin A \cdot \sin 3A$.
Но легко сосчитать, что
$\sin^{2} 2A –sin^{2} A= \sin A \cdot \sin 3A $,
следовательно, в рассматриваемом треугольнике мы имеем $b^{2} – a^{2} = ac$, или $b^{2} = a(a+c)$. Рассмотрим соотношение $b^{2} = a(a+c)$. Возможны следующие случаи:
1) $a=n,b=n+1, c=n+2$. Тогда $(n+1)^{2}=n(2n+2)$, т. е. $n^{2}-1=0$, откуда $n=1$ и $a=1,b=2,c=3$ — вырожденный треугольник.
2) $a=n,b=n+2,c=n+1$. Тогда $(n+2)^{2}=n(2n+1)$, т. е. $n=4$ и $a=4,b=6,c=5$ — решение задачи.
3) $c=n,a=n+1,b=n+2$, откуда $n^{2}-n-3=0$ — уравнение не имеет целых корней.
Докажем, что треугольник со сторонами $a=4,b=6,c=5$ является решением задачи, т. е. углы этого треугольника удовлетворяют условию.
Вычислим $\cos \hat{A}$ и $\cos \hat{B}$. Из теоремы косинусов получаем $\cos \hat{B}= \frac{1}{8}, \cos \hat{A} = \frac{3}{4}$, т. е. $\cos 2 \hat{A} = \cos \hat{B}$ и, следовательно, $\hat{B} = 2 \hat{A}$.
Решение 2. Проведем биссектрису $BD$ угла $B$ (рис.) и обозначим $|CD|=b_{1},|DA|=b_{2}$. Тогда $\triangle BCD \sim \triangle ABC$ и,
следовательно, $\frac{c}{b_{2}}= \frac{a}{b_{1}} = \frac{b}{a}$ , откуда $c= b_{2} \cdot \frac{b}{a}, a = b_{1} \cdot \frac{b}{a}$.
Сложив эти равенства, получим
$(b_{1} + b_{2}) \cdot \frac{b}{a} = \frac{b^{2}}{a} = c + a$ — целое число.
Так как по условию длины сторон — последовательные целые числа и $b > a$, то либо 1) $b = a+1$, либо 2) $b=a+2$.
1) $b=a+1, \frac{b^{2}}{a} = \frac{a^{2}+2a+1}{a} = a+2+ \frac{1}{a}$ и, следовательно, $a=1, b=2, c=3$ - треугольник вырожденный.
2) $b=a+2, \frac{b^{2}}{a} = \frac{a^{2}+4a+4}{a} = a+4+ \frac{4}{a}$, следовательно, $a$ — делитель 4. Поэтому либо $a=1$, либо $a=2$, либо $a=4$.
Если $a=1$, тогда $b=3$ и $c= \frac{b^{2}}{a} – a = 8$, что не удовлетворяет условию.
Если $a=2$, тогда $b=4$ и $c=6$, что тоже не удовлетворяет условию.
Если $a=4$, тогда $b=6$ и $c=5$ — решение задачи.
