Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1020
2015-02-08 
В спартакиаде, продолжавшейся $n$ дней, было разыграно $m$ медалей. В I день были вручены 1 медаль и еще $\frac{1}{7}$ оставшихся $m-1$ медалей. Во II день были вручены 2 медали и еще $\frac{1}{7}$ оставшихся после этого медалей и т. д. Наконец, в $n$-й последний день были вручены оставшиеся $n$ медалей. Сколько дней продолжалась спартакиада и сколько медалей было вручено?
Решение:
По смыслу задачи $n>1$. Рассмотрим $(n-k)$-й день. В этот день для раздачи оставалось $x_{n-k}$ медалей. На следующий
$(n-k+1)$-й день останется $x_{n-k+1}=x_{n-l}-n+k- \frac{1}{7}(x_{n-k}-n+k)$ медалей, т. е. $x_{n-k+1} = \frac{6}{7} (x_{n-k}-n+k)$.
Откуда
$x_{n-k} = \frac{7}{6} x_{n-k+1} – k + n$. (1)
Используя формулу (1), получим $x_{n}=n$; так как $x_{n+1} = 0$,
$x_{n-1} = \frac{7}{6} n – 1 +n = \frac{7}{6} n + (n-1)$.
$x_{n-2} = \left ( \frac{7}{6} \right )^{2}n + \frac{7}{6} (n-1) + (n-2)$,
................
Предположим, что
$x_{n-l} = \left ( \frac{7}{6} \right )^{l} n + \left ( \frac{7}{6} \right )^{l-1} (n-1) + \cdots + \frac{7}{6} (n-l+1)+(n-l)$. (2)
Докажем формулу (2) методом математической индукции. Для
$ x_{n-l+1} = \left ( \frac{7}{6} \right )^{l-1} n + \cdots + \frac{7}{6}(n-l+2) + (n-l+1)$ (3)
Умножив обе части (3) на $\frac{7}{6}$, прибавив к обеим частям $(n-l)$ и подставив в (1), получим (2).
По условию $x_{1}=m$, поэтому
$m = \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} n + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} (n-1) + \cdots + 2 \cdot \frac{7}{6} + 1 = n \left ( \left( \frac{7}{6} \right )^{n-1} + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + \cdots + 1 \right ) - \left ( \left( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + 2 \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-3} + \cdots + (n-1) \right ) = 6n \left ( \left ( \frac{7}{6} \right )^{n} - 1 \right ) – 42 \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} + 42 + 6(n-1) = 6(n-6) \cdot \left ( \frac{7}{6} \right )^{n} + 36$.
Но так как 7 и 6 взаимно просты, то $\frac{n-6}{6^{n-1}}$-целое число. Отсюда заключаем, что $n$ делится на 6. Докажем, что $|n-6|<6^{n-1}$ для любого $n>6$.
$|n-6| < n = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \cdots \cdot \frac{n}{n-1} < 2^{n-1} < 6^{n-1}$,
что и требовалось доказать.
Итак $|n-6|<6^{n-1}$, но $\frac{n-6}{6^{n-1}}$—целое число, меньшее 1.
Отсюда можно заключить, что $n-6=0$, или $n=6$. Тогда $m=36$.
Легко проверяется, что $n=6, m=36$ удовлетворяют условию задачи.
В спартакиаде, продолжавшейся $n$ дней, было разыграно $m$ медалей. В I день были вручены 1 медаль и еще $\frac{1}{7}$ оставшихся $m-1$ медалей. Во II день были вручены 2 медали и еще $\frac{1}{7}$ оставшихся после этого медалей и т. д. Наконец, в $n$-й последний день были вручены оставшиеся $n$ медалей. Сколько дней продолжалась спартакиада и сколько медалей было вручено?
Решение:
По смыслу задачи $n>1$. Рассмотрим $(n-k)$-й день. В этот день для раздачи оставалось $x_{n-k}$ медалей. На следующий
$(n-k+1)$-й день останется $x_{n-k+1}=x_{n-l}-n+k- \frac{1}{7}(x_{n-k}-n+k)$ медалей, т. е. $x_{n-k+1} = \frac{6}{7} (x_{n-k}-n+k)$.
Откуда
$x_{n-k} = \frac{7}{6} x_{n-k+1} – k + n$. (1)
Используя формулу (1), получим $x_{n}=n$; так как $x_{n+1} = 0$,
$x_{n-1} = \frac{7}{6} n – 1 +n = \frac{7}{6} n + (n-1)$.
$x_{n-2} = \left ( \frac{7}{6} \right )^{2}n + \frac{7}{6} (n-1) + (n-2)$,
................
Предположим, что
$x_{n-l} = \left ( \frac{7}{6} \right )^{l} n + \left ( \frac{7}{6} \right )^{l-1} (n-1) + \cdots + \frac{7}{6} (n-l+1)+(n-l)$. (2)
Докажем формулу (2) методом математической индукции. Для
$ x_{n-l+1} = \left ( \frac{7}{6} \right )^{l-1} n + \cdots + \frac{7}{6}(n-l+2) + (n-l+1)$ (3)
Умножив обе части (3) на $\frac{7}{6}$, прибавив к обеим частям $(n-l)$ и подставив в (1), получим (2).
По условию $x_{1}=m$, поэтому
$m = \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} n + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} (n-1) + \cdots + 2 \cdot \frac{7}{6} + 1 = n \left ( \left( \frac{7}{6} \right )^{n-1} + \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + \cdots + 1 \right ) - \left ( \left( \frac{7}{6} \right )^{n-2} + 2 \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-3} + \cdots + (n-1) \right ) = 6n \left ( \left ( \frac{7}{6} \right )^{n} - 1 \right ) – 42 \left ( \frac{7}{6} \right )^{n-1} + 42 + 6(n-1) = 6(n-6) \cdot \left ( \frac{7}{6} \right )^{n} + 36$.
Но так как 7 и 6 взаимно просты, то $\frac{n-6}{6^{n-1}}$-целое число. Отсюда заключаем, что $n$ делится на 6. Докажем, что $|n-6|<6^{n-1}$ для любого $n>6$.
$|n-6| < n = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \cdots \cdot \frac{n}{n-1} < 2^{n-1} < 6^{n-1}$,
что и требовалось доказать.
Итак $|n-6|<6^{n-1}$, но $\frac{n-6}{6^{n-1}}$—целое число, меньшее 1.
Отсюда можно заключить, что $n-6=0$, или $n=6$. Тогда $m=36$.
Легко проверяется, что $n=6, m=36$ удовлетворяют условию задачи.
