Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 102
2014-06-07 
Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ не является целой степенью простого числа, то существует перестановка
$(i_{1};i_{2}; \cdots ; i_{n})$
чисел $1, 2, \cdots, n$, для которой справедливо равенство
$\sum_{k=1}^{n} k \cos (2 \pi i_{k} / n) = 0$.
Решение:
Число $n$ представимо в виде произведения $p – q$ взаимно простых чисел $p > 1$ и $q > 1$. Для каждого $k = 1, 2, \cdots, n$ подберем числа
$m \in {0;1; \cdots ; p-1}, l \in {0;1; \cdots ; q}$
для которых выполнено равенство $k = mq + l$, и положим $i_{k}=r+1$ где $r$ - остаток от деления числа $(mq + lp - 1)$ на $n$. Таким образом, получен набор чисел
$i_{1},i_{2}, \cdots ,i_{n} \in {1; \cdots ; n}$.
Докажем, что среди них нет одинаковых. Пусть, напротив, нашлись два различных номера
$k_{1}=m_{1}q+l_{1}, k_{2}=m_{2}q+l_{2}$,
для которых выполнено равенство $i_{k_{1}}=i_{k_{2}}$. Тогда число
$(m_{1}q+l_{1}p) - (m_{2}q+l_{2}p) = (m_{1}-m_{2})q + (l_{1}-l_{2})p$
делится на $n= pq$, но числа $p, q$ взаимно просты, поэтому число $(m_{1} – m_{2})$ делится на $p$, а число $(l_{1} – l_{2})$ - на $q$. Поскольку
$| m_{1} - m_ {2}|< p, | l_{1} – l_{2} | < q$,
то справедливы равенства $m_{1}- m_{2}=l_{1} – l_{2}=0$, откуда $k_{1}=k_{2}$, что
противоречит сделанному выше предположению. Таким образом, набор
$(i_{1}; i_{2}; \cdots ;i_{n})$
представляет собой перестановку чисел $1, 2, \cdots n$. Пользуясь периодичностью функций $\sin x, \cos x$ и группируя специальным образом слагаемые в сумме
$S = \sum_{k=1}^{n} k \cos (2 \pi i_{k}/n)$,
получаем
$S= \sum_{m=0}^{p-1} \sum_{l=1}^{q} (mq+l) \cos \frac{2 \pi (mq+lp)}{pq}=$
$= \sum_{m=0}^{p-1} mq \sum_{l=1}^{q} \cos \left ( \frac{2 \pi m}{p} + \frac{2 \pi l}{q} \right ) + \sum_{l=1}^{q} l \sum_{m=0}^{p-1} \cos \left ( \frac{2 \pi m}{p} + \frac{2 \pi l}{q} \right ) =$
$= \sum_{m=0}^{p-1} mq \left ( \cos \frac{2 \pi m}{p} \sum_{l=1}^{q} \cos \frac{2 \pi l}{q} - \sin \frac{2 \pi m }{l} \sum_{l=1}^{q} \sin \frac{2 \pi l}{q} \right ) +$
$+ \sum_{l=1}^{q} l \left ( \cos \frac{2 \pi l}{p} \sum_{m=0}^{p-1} \cos \frac{2 \pi m}{p} - \sin \frac{2 \pi l }{q} \sum_{m=0}^{p-1} \sin \frac{2 \pi m}{p} \right )= 0$,
так как
$ \sum_{l=1}^{q} \cos \frac{2 \pi l}{q} = \sum_{l=1}^{q} \sin \frac{2 \pi l}{q} = 0$
и
$ \sum_{m=0}^{p-1} \cos \frac{2 \pi m}{p} = \sum_{m=0}^{p-1} \cos \frac{2 \pi m}{p} = 0$
(для доказательства последних равенств достаточно заметить, что, согласно теореме Виета, суммы комплексных чисел
$x_{l}= \cos \frac{2 \pi l}{q} + i \sin \frac{2 \pi l}{q}, l =1, \cdots , q,$
и
$y_{m}= \cos \frac{2 \pi m}{p} + I \sin \frac{2 \pi m}{p}, m = 0 , \cdots , p-1,$
являющихся корнями многочленов $x^{q}-1$ и $x^{p}-1$ соответственно, равны нулю; более элементарное доказательство этих равенств состоит в том, что если на плоскости ввести систему координат, то точки
$(\cos (2 \pi j /N); \sin (2 \pi j / N)), j=1,2, \cdots , N$,
где $N \geq 2$, суть вершины правильного N-угольника с центром в начале координат, а сумма всех N векторов, проведенных из центра правильного N-угольника к его вершинам, будучи инвариантной относительно поворота плоскости вокруг этого центра на угол $2 \pi /N$ равна нулевому вектору). Итак, доказано, что определенная выше перестановка $(i_{1}; i_{2}; \cdots ; i_{n})$ удовлетворяет требуемому равенству.
Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ не является целой степенью простого числа, то существует перестановка
$(i_{1};i_{2}; \cdots ; i_{n})$
чисел $1, 2, \cdots, n$, для которой справедливо равенство
$\sum_{k=1}^{n} k \cos (2 \pi i_{k} / n) = 0$.
Решение:
Число $n$ представимо в виде произведения $p – q$ взаимно простых чисел $p > 1$ и $q > 1$. Для каждого $k = 1, 2, \cdots, n$ подберем числа
$m \in {0;1; \cdots ; p-1}, l \in {0;1; \cdots ; q}$
для которых выполнено равенство $k = mq + l$, и положим $i_{k}=r+1$ где $r$ - остаток от деления числа $(mq + lp - 1)$ на $n$. Таким образом, получен набор чисел
$i_{1},i_{2}, \cdots ,i_{n} \in {1; \cdots ; n}$.
Докажем, что среди них нет одинаковых. Пусть, напротив, нашлись два различных номера
$k_{1}=m_{1}q+l_{1}, k_{2}=m_{2}q+l_{2}$,
для которых выполнено равенство $i_{k_{1}}=i_{k_{2}}$. Тогда число
$(m_{1}q+l_{1}p) - (m_{2}q+l_{2}p) = (m_{1}-m_{2})q + (l_{1}-l_{2})p$
делится на $n= pq$, но числа $p, q$ взаимно просты, поэтому число $(m_{1} – m_{2})$ делится на $p$, а число $(l_{1} – l_{2})$ - на $q$. Поскольку
$| m_{1} - m_ {2}|< p, | l_{1} – l_{2} | < q$,
то справедливы равенства $m_{1}- m_{2}=l_{1} – l_{2}=0$, откуда $k_{1}=k_{2}$, что
противоречит сделанному выше предположению. Таким образом, набор
$(i_{1}; i_{2}; \cdots ;i_{n})$
представляет собой перестановку чисел $1, 2, \cdots n$. Пользуясь периодичностью функций $\sin x, \cos x$ и группируя специальным образом слагаемые в сумме
$S = \sum_{k=1}^{n} k \cos (2 \pi i_{k}/n)$,
получаем
$S= \sum_{m=0}^{p-1} \sum_{l=1}^{q} (mq+l) \cos \frac{2 \pi (mq+lp)}{pq}=$
$= \sum_{m=0}^{p-1} mq \sum_{l=1}^{q} \cos \left ( \frac{2 \pi m}{p} + \frac{2 \pi l}{q} \right ) + \sum_{l=1}^{q} l \sum_{m=0}^{p-1} \cos \left ( \frac{2 \pi m}{p} + \frac{2 \pi l}{q} \right ) =$
$= \sum_{m=0}^{p-1} mq \left ( \cos \frac{2 \pi m}{p} \sum_{l=1}^{q} \cos \frac{2 \pi l}{q} - \sin \frac{2 \pi m }{l} \sum_{l=1}^{q} \sin \frac{2 \pi l}{q} \right ) +$
$+ \sum_{l=1}^{q} l \left ( \cos \frac{2 \pi l}{p} \sum_{m=0}^{p-1} \cos \frac{2 \pi m}{p} - \sin \frac{2 \pi l }{q} \sum_{m=0}^{p-1} \sin \frac{2 \pi m}{p} \right )= 0$,
так как
$ \sum_{l=1}^{q} \cos \frac{2 \pi l}{q} = \sum_{l=1}^{q} \sin \frac{2 \pi l}{q} = 0$
и
$ \sum_{m=0}^{p-1} \cos \frac{2 \pi m}{p} = \sum_{m=0}^{p-1} \cos \frac{2 \pi m}{p} = 0$
(для доказательства последних равенств достаточно заметить, что, согласно теореме Виета, суммы комплексных чисел
$x_{l}= \cos \frac{2 \pi l}{q} + i \sin \frac{2 \pi l}{q}, l =1, \cdots , q,$
и
$y_{m}= \cos \frac{2 \pi m}{p} + I \sin \frac{2 \pi m}{p}, m = 0 , \cdots , p-1,$
являющихся корнями многочленов $x^{q}-1$ и $x^{p}-1$ соответственно, равны нулю; более элементарное доказательство этих равенств состоит в том, что если на плоскости ввести систему координат, то точки
$(\cos (2 \pi j /N); \sin (2 \pi j / N)), j=1,2, \cdots , N$,
где $N \geq 2$, суть вершины правильного N-угольника с центром в начале координат, а сумма всех N векторов, проведенных из центра правильного N-угольника к его вершинам, будучи инвариантной относительно поворота плоскости вокруг этого центра на угол $2 \pi /N$ равна нулевому вектору). Итак, доказано, что определенная выше перестановка $(i_{1}; i_{2}; \cdots ; i_{n})$ удовлетворяет требуемому равенству.
