Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1019
2015-02-08 
Рассматривается последовательность $\{ C_{n} \}$:
$C_{1} = a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{8}$
$ C_{1} = a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ \cdots + a_{8}^{2}$
$\cdots$
$ C_{n} = a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+ \cdots + a_{8}^{n}$
$\cdots$
где $a_{1}, \cdots, a_{8}$ — действительные числа, не все равные нулю. Среди членов последовательности бесконечно много равных нулю. Найдите все $n$, для которых $C_{n}=0$.
Решение:
Очевидно, что сумма четных степеней всегда положительна, если числа $a_{1}, \cdots, a_{8}$ не все равны нулю. Если все $a_{1}, \cdots, a_{8}$ равны нулю, тогда все $c_{n}=0$ тождественно. Таким образом, в нетривиальном случае нулю могут равняться лишь какие-то суммы нечетных степеней. Докажем, что если среди сумм нечетных степеней бесконечно много равных нулю, то все эти суммы обязательно равны нулю. Для этого покажем по индукции, что если среди сумм последовательных степеней $2m$ действительных чисел бесконечно много нулей, то эти числа разбиваются на $m$ пар, состоящих каждая из положительного
и равного ему по модулю отрицательного числа. Действительно, пусть $b$ — максимум модуля чисел $a_{k}$, причем среди максимальных по модулю $p$ положительных и $q$ отрицательных. Не ограничивая общности, можно считать, что это числа $a_{1}= \cdots = a_{p} = b, a_{p+1} = \cdots = a_{p+q} = -b$, а последующие (если они есть) числа меньше, и максимум их модуля равен $d, 0\leq d < b$. Тогда
$c_{2k+1} = (p-q)b^{2k+1} + (a_{p+q+1})^{2k+1} + \cdots + (a_{2m})^{2k+1}$,
и если $p \neq q$, т. е. $|p-q| \geq 1$, то при достаточно больших $k$, точнее, при $2k+1 > \frac{log 4m}{logb – log d}$ имеем:
$|c_{2k+1}| > |p-1|b^{2k+1} – 2md^{2k+1} > \frac{1}{2} b^{2k+1}$,
т.е., начиная с $2k+1 =\left [ \frac{log 4m}{logb – log d} \right ] + 1$, все нечетные степени также отличны от нуля, что противоречит условию задачи. Значит, $p=q$ и сумма нечетных степеней первых $p+q$ чисел всегда равна нулю. Следовательно, среди суммы нечетных степеней остальных чисел $a_{p+q+1}, \cdots, a_{2m}$ (если они есть) бесконечно много нулей. Тогда, по предположению индукции, они разбиваются на пары, требуемые условием леммы. Первые же числа также разбиваются на пары, их $p$ положительных и $q=p$ отрицательных, равных по модулю. Лемма доказана.
Отсюда следует, что все нечетные степени взаимно уничтожаются.
Рассматривается последовательность $\{ C_{n} \}$:
$C_{1} = a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{8}$
$ C_{1} = a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ \cdots + a_{8}^{2}$
$\cdots$
$ C_{n} = a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+ \cdots + a_{8}^{n}$
$\cdots$
где $a_{1}, \cdots, a_{8}$ — действительные числа, не все равные нулю. Среди членов последовательности бесконечно много равных нулю. Найдите все $n$, для которых $C_{n}=0$.
Решение:
Очевидно, что сумма четных степеней всегда положительна, если числа $a_{1}, \cdots, a_{8}$ не все равны нулю. Если все $a_{1}, \cdots, a_{8}$ равны нулю, тогда все $c_{n}=0$ тождественно. Таким образом, в нетривиальном случае нулю могут равняться лишь какие-то суммы нечетных степеней. Докажем, что если среди сумм нечетных степеней бесконечно много равных нулю, то все эти суммы обязательно равны нулю. Для этого покажем по индукции, что если среди сумм последовательных степеней $2m$ действительных чисел бесконечно много нулей, то эти числа разбиваются на $m$ пар, состоящих каждая из положительного
и равного ему по модулю отрицательного числа. Действительно, пусть $b$ — максимум модуля чисел $a_{k}$, причем среди максимальных по модулю $p$ положительных и $q$ отрицательных. Не ограничивая общности, можно считать, что это числа $a_{1}= \cdots = a_{p} = b, a_{p+1} = \cdots = a_{p+q} = -b$, а последующие (если они есть) числа меньше, и максимум их модуля равен $d, 0\leq d < b$. Тогда
$c_{2k+1} = (p-q)b^{2k+1} + (a_{p+q+1})^{2k+1} + \cdots + (a_{2m})^{2k+1}$,
и если $p \neq q$, т. е. $|p-q| \geq 1$, то при достаточно больших $k$, точнее, при $2k+1 > \frac{log 4m}{logb – log d}$ имеем:
$|c_{2k+1}| > |p-1|b^{2k+1} – 2md^{2k+1} > \frac{1}{2} b^{2k+1}$,
т.е., начиная с $2k+1 =\left [ \frac{log 4m}{logb – log d} \right ] + 1$, все нечетные степени также отличны от нуля, что противоречит условию задачи. Значит, $p=q$ и сумма нечетных степеней первых $p+q$ чисел всегда равна нулю. Следовательно, среди суммы нечетных степеней остальных чисел $a_{p+q+1}, \cdots, a_{2m}$ (если они есть) бесконечно много нулей. Тогда, по предположению индукции, они разбиваются на пары, требуемые условием леммы. Первые же числа также разбиваются на пары, их $p$ положительных и $q=p$ отрицательных, равных по модулю. Лемма доказана.
Отсюда следует, что все нечетные степени взаимно уничтожаются.
