Разделы 
Дополнительно
Задача по математике 1017
2015-01-31 
$k, m, n$ — положительные целые числа и $m+k+1$ — простое число, большее $n+1$. Пусть $C_{S} = s(s+l)$. Докажите, что произведение $(C_{m+1}-C_{k}) \cdot (C_{m+2}-C_{k}) \cdots (C_{m+n}-C_{k})$ делится на произведение $C_{1} \cdot C_{2} \cdot \cdots C_{n}$.
Решение:
Прежде всего имеем:
$C_{p} – C_{q} = p^{2} + p – (q^{2} + q) = (p-q)(p+q+1)$.
Откуда получаем, что
$(C_{m+1} – C_{k}) \cdot (C_{m+2} – C_{k}) \cdot \cdots \cdot (C_{m+n} – C_{k}) = (m+1-k)(m+1+k+1)(m+2-k) \times (m+2+k+1) \cdots (m+n-k)(m+n+k+1) = ((m-k+1)(m-k+2) \cdots (m-k+n)) \times ((m+k+2)(m+k+3) \cdots (m+k+n+1))$.
С другой стороны,
$C_{1} \cdot C_{2} \cdot \cdots \cdot C_{n} = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot nn(n+1) = n!(n+1)!$.
Итак, надо доказать, что
$\frac{(m-k+1) \cdots (m-k+n)}{n!} \cdot \frac{(m+k+2) \cdots (m+k+n+1)}{(n+1)!} $ - целое число.
$(m – k + 1) \cdots (m – k + n)$ — произведение $n$ последовательных целых чисел, делится на $n!$. Это очевидно в случае обращения в нуль одного из сомножителей, хорошо известно для положительных чисел и приводится к положительным для отрицательных сомножителей.
Теперь осталось доказать, что
$(m + k + 2)(m + k + 3) \cdots (m+k+n+1)$ делится на $(n+1)!$.
Рассмотрим
$C_{m+k+n+1}^{n+1} = \frac{(m+k+1)(m+k+2) \cdots (m+k+n+1)}{(n+1)!}$
Это число, как известно, целое. Но по условию $m+k+1$ – число простое, большее $n+1$, поэтому $m+k+1$ не делится ни на один простой сомножитель числа $(n+1)!$. Значит, $(m+k+2) \times \cdots \cdot (m+k+n+1)$ делится на $(n+1)!$. Тем самым произведение $n$ последовательных целых чисел $(m+k+2) \cdot \cdots \cdot(m+k+n+1)$ делится на $(n+1)!$.
$k, m, n$ — положительные целые числа и $m+k+1$ — простое число, большее $n+1$. Пусть $C_{S} = s(s+l)$. Докажите, что произведение $(C_{m+1}-C_{k}) \cdot (C_{m+2}-C_{k}) \cdots (C_{m+n}-C_{k})$ делится на произведение $C_{1} \cdot C_{2} \cdot \cdots C_{n}$.
Решение:
Прежде всего имеем:
$C_{p} – C_{q} = p^{2} + p – (q^{2} + q) = (p-q)(p+q+1)$.
Откуда получаем, что
$(C_{m+1} – C_{k}) \cdot (C_{m+2} – C_{k}) \cdot \cdots \cdot (C_{m+n} – C_{k}) = (m+1-k)(m+1+k+1)(m+2-k) \times (m+2+k+1) \cdots (m+n-k)(m+n+k+1) = ((m-k+1)(m-k+2) \cdots (m-k+n)) \times ((m+k+2)(m+k+3) \cdots (m+k+n+1))$.
С другой стороны,
$C_{1} \cdot C_{2} \cdot \cdots \cdot C_{n} = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot nn(n+1) = n!(n+1)!$.
Итак, надо доказать, что
$\frac{(m-k+1) \cdots (m-k+n)}{n!} \cdot \frac{(m+k+2) \cdots (m+k+n+1)}{(n+1)!} $ - целое число.
$(m – k + 1) \cdots (m – k + n)$ — произведение $n$ последовательных целых чисел, делится на $n!$. Это очевидно в случае обращения в нуль одного из сомножителей, хорошо известно для положительных чисел и приводится к положительным для отрицательных сомножителей.
Теперь осталось доказать, что
$(m + k + 2)(m + k + 3) \cdots (m+k+n+1)$ делится на $(n+1)!$.
Рассмотрим
$C_{m+k+n+1}^{n+1} = \frac{(m+k+1)(m+k+2) \cdots (m+k+n+1)}{(n+1)!}$
Это число, как известно, целое. Но по условию $m+k+1$ – число простое, большее $n+1$, поэтому $m+k+1$ не делится ни на один простой сомножитель числа $(n+1)!$. Значит, $(m+k+2) \times \cdots \cdot (m+k+n+1)$ делится на $(n+1)!$. Тем самым произведение $n$ последовательных целых чисел $(m+k+2) \cdot \cdots \cdot(m+k+n+1)$ делится на $(n+1)!$.
