2015-01-31
В тетраэдре длина одного, и только одного, ребра больше 1. Докажите, что объем тетраэдра не превосходит $\frac{1}{8}$.
Решение:
Пусть $АВ$ — наибольшее ребро. Тогда в $\triangle ACD$ и в $\triangle BCD$ все стороны не превосходят 1, высота $AF$ и высота $ВК$, как легко доказать, не превосходят $\sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$, где $|CD| = a < 1$.
Высота тетраэдра $|AS| \leq | AF | \leq \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{4}}$. Объем тетраэдра
$V= \frac{1}{3} S_{\triangle ACD} \cdot |AS| \leq \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a \left ( 1 - \frac{a^{2}}{4} \right ) = \frac{1}{24} a (4 – a^{2})$.
Найдем максимум объема тетраэдра при $a \leq 1$, для чего найдем максимум функций $у = х(4—х^{2})$ при $0 \leq x \leq 1$.
$у = х(4—х^{2})=3—(1—х)—2(1—x^{2})—х(1—х)^{2} \leq 3$,
оттуда $y=3$ при $x=1$ и $V_{max}= max_{a \leq a \leq 1} \frac{1}{24} a(4 – a^{2}) = \frac{1}{8}$.
Осталось проверить, что тетраэдр с объемом, равным $\frac{1}{8}$, удовлетворяющий условиям задачи, существует. Возьмем $|AC| = |CD|=|AD| = |BC| = |BD| = 1$ и плоскость $ACD$, перпендикулярную $BCD$. При этом $|AB|= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}} > 1$.
Многие искали экстремум функции $у=х(4—х^{2})$ с помощью производной, и некоторые из них не заметили, что точка безусловного экстремума не принадлежит интервалу изменения переменной.