ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-04-21   
При каких натуральных #n# справедливо неравенство #2^{n} > n^{2}#?


Решение:


При #n=1# неравенство справедливо, так как #2^{1} > 1^{2}.# При #n=2# неравенство несправедливо, так как #2^{2} = 2^{2}.# При #n=3# неравенство несправедливо, так как #2^{3} < 3^{2}.# При #n=4# неравенство несправедливо, так как #2^{4} = 4^{2}.# При #n=5# неравенство справедливо, так как #2^{5} > 5^{2}# При #n=6# неравенство справедливо, так как #2^{6} > 6^{2}# По-видимому, неравенство справедливо при #n=1# и при любом #n > 4.# Докажем это. 1. При #n=5# неравенство справедливо. 2. Пусть #2^{k} > k^{2},# (1) где #k# "” некоторое натуральное число, большее 4. Докажем, что #2^{k+1} > (k+1)^{2}.# (2) Мы знаем, что #2^{k} > 2k+1# при #k > 4# (задача 25). Поэтому если мы к левой части неравенства (1) прибавим #2^{k},# а к правой #2k+1,# получим справедливое неравенство (2). Ответ. #2^{n} > n^{2},# когда #n=1# и когда #n > 4.#