Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1012
2014-04-21 
Доказать, что при любом натуральном #n > 1# #\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}.#
Решение:
Обозначим левую часть неравенства через #S_{n}.# 1. #S_{2} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24},# следовательно, при #n=2# неравенство справедливо. 2. Пусть #S_{k} > \frac{13}{24}# при некотором #k.# Докажем, что тогда и #S_{k+1} > \frac{13}{24}.# Имеем #S_{k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{2k}, S_{k+1} =# #= \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \cdots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}.# Сравнивая #S_{k}# и #S_{k+1},# имеем #S_{k+1} - S_{k} = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1},# т. е. #S_{k+1} - S_{k} = \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}.# При любом натуральном #k# правая часть последнего равенства положительна. Поэтому #S_{k+1} > S_{k}.# Но #S_{k} > \frac{13}{24},# значит, и #S_{k+1} >\frac{13}{24}.#
Доказать, что при любом натуральном #n > 1# #\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}.#
Решение:
Обозначим левую часть неравенства через #S_{n}.# 1. #S_{2} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24},# следовательно, при #n=2# неравенство справедливо. 2. Пусть #S_{k} > \frac{13}{24}# при некотором #k.# Докажем, что тогда и #S_{k+1} > \frac{13}{24}.# Имеем #S_{k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{2k}, S_{k+1} =# #= \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \cdots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}.# Сравнивая #S_{k}# и #S_{k+1},# имеем #S_{k+1} - S_{k} = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1},# т. е. #S_{k+1} - S_{k} = \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}.# При любом натуральном #k# правая часть последнего равенства положительна. Поэтому #S_{k+1} > S_{k}.# Но #S_{k} > \frac{13}{24},# значит, и #S_{k+1} >\frac{13}{24}.#
