Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1011
2014-04-21 
Доказать теорему: Если в результате конечного числа рациональных действий (т. е. сложения, вычитания, умножения и деления) над комплексными числами #x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}# получается число #u#, то в результате тех же действий над сопряженными комплексными числами #\overline{x_{1}},\overline{x_{2}}, \cdots, \overline{x_{n}}# получится число #\overline{u},# сопряженное с #u.#
Решение:
1. Прежде всего покажем, что утверждение верно для каждого из четырех действий над двумя комплексными числами. Пусть #x_{1}=a+bi, x_{2} = c+di.# Тогда #x_{1}+x_{2}=(a+c)+(b+d)i=u, \\ \overline{x_{1}} + \overline{x_{2}} = (a-bi) + (c-di) = (a+c) - (b+d)i = \overline{u}.# Точно так же утверждение проверяется для вычитания, умножения и деления. 2. Пусть теперь даио некоторое рациональное выражение от комплексных чисел #x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}.# Вычисление такого выражения сводится, как известно, к последовательному выполнению одного из четырех действий над двумя комплексными числами, причем действия эти могут быть занумерованы. Например, пусть #u = \frac{x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4}}{x_{1}+x_{2}-x_{3}}.# Для вычисления #u# достаточно произвести действия: #1) x_{1}x_{2} = u_{1}, 2) x_{3}x_{4}=u_{2},3) x_{1}+x_{2}= u_{3}, \\ 4)u_{3}-x_{3} = u_{4}, 5) u_{1} + u_{2} = u_{5}, 6) u_{5}:u_{4} = u.# Предположим, что утверждение верно для всех выражений, которые вычисляются посредством не более #k# действий. Термин «действие» здесь означает сложение, либо вычитание, либо умножение, либо деление двух комплексных чисел. Покажем, что тогда утверждение должно быть верно и для выражений, требующих #k+1# действий. Действительно, последнее #(k+1)#-е действие мы выполняем над числами #u_{i}# и #u_{j},# которые сами вычислялись посредством не более чем #k# действий. В результате замены чисел #x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}# сопряженными, числа #u_{i}# и #u_{j}# заменяются сопряженными #\overline{u_{i}} \text{и} \: \overline{u_{j}},# а тогда и результат #(k+1)# -го действия над ними, т. е. число #u,# также заменится сопряженным числом #\overline{u}.#
Доказать теорему: Если в результате конечного числа рациональных действий (т. е. сложения, вычитания, умножения и деления) над комплексными числами #x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}# получается число #u#, то в результате тех же действий над сопряженными комплексными числами #\overline{x_{1}},\overline{x_{2}}, \cdots, \overline{x_{n}}# получится число #\overline{u},# сопряженное с #u.#
Решение:
1. Прежде всего покажем, что утверждение верно для каждого из четырех действий над двумя комплексными числами. Пусть #x_{1}=a+bi, x_{2} = c+di.# Тогда #x_{1}+x_{2}=(a+c)+(b+d)i=u, \\ \overline{x_{1}} + \overline{x_{2}} = (a-bi) + (c-di) = (a+c) - (b+d)i = \overline{u}.# Точно так же утверждение проверяется для вычитания, умножения и деления. 2. Пусть теперь даио некоторое рациональное выражение от комплексных чисел #x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}.# Вычисление такого выражения сводится, как известно, к последовательному выполнению одного из четырех действий над двумя комплексными числами, причем действия эти могут быть занумерованы. Например, пусть #u = \frac{x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4}}{x_{1}+x_{2}-x_{3}}.# Для вычисления #u# достаточно произвести действия: #1) x_{1}x_{2} = u_{1}, 2) x_{3}x_{4}=u_{2},3) x_{1}+x_{2}= u_{3}, \\ 4)u_{3}-x_{3} = u_{4}, 5) u_{1} + u_{2} = u_{5}, 6) u_{5}:u_{4} = u.# Предположим, что утверждение верно для всех выражений, которые вычисляются посредством не более #k# действий. Термин «действие» здесь означает сложение, либо вычитание, либо умножение, либо деление двух комплексных чисел. Покажем, что тогда утверждение должно быть верно и для выражений, требующих #k+1# действий. Действительно, последнее #(k+1)#-е действие мы выполняем над числами #u_{i}# и #u_{j},# которые сами вычислялись посредством не более чем #k# действий. В результате замены чисел #x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}# сопряженными, числа #u_{i}# и #u_{j}# заменяются сопряженными #\overline{u_{i}} \text{и} \: \overline{u_{j}},# а тогда и результат #(k+1)# -го действия над ними, т. е. число #u,# также заменится сопряженным числом #\overline{u}.#
