Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1010
2014-04-21 
Доказать, что #(1+i)^{n}=2^{\frac{n}{2}} \left( \cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4} \right ).#
Решение:
1. При #n=1# утверждение справедливо, так как #1+i=2^{\frac{1}{2}} \left ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right ).# 2. Пусть #(1+i)^{k}=2^{\frac{k}{2}} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right ).# Тогда #(1+i)^{k+1}=2^{\frac{k}{2}} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right ) 2^{\frac{1}{2}} \left ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right ) = 2^{\frac{k+1}{2}} \left ( \cos \frac{(k+1) \pi}{4} + i \sin \frac{(k+1) \pi}{4} \right ).#
Доказать, что #(1+i)^{n}=2^{\frac{n}{2}} \left( \cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4} \right ).#
Решение:
1. При #n=1# утверждение справедливо, так как #1+i=2^{\frac{1}{2}} \left ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right ).# 2. Пусть #(1+i)^{k}=2^{\frac{k}{2}} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right ).# Тогда #(1+i)^{k+1}=2^{\frac{k}{2}} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right ) 2^{\frac{1}{2}} \left ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right ) = 2^{\frac{k+1}{2}} \left ( \cos \frac{(k+1) \pi}{4} + i \sin \frac{(k+1) \pi}{4} \right ).#
