Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1009
2014-04-21 
Доказать, что #\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin nx = \frac{\sin \frac{n+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{nx}{2}.#
Решение:
1. При #n=1# утверждение справедливо. 2. Пусть #\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin kx = \frac{\sin \frac{k+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{kx}{2}.# Тогда #\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin kx + \sin(k+1)x = \frac{\sin \frac{k+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{k+1}{2}x \cos \frac{k+1}{2}x= \frac{\sin \frac{k+2}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{k+1}{2}x,# ибо #2 \cos \frac{k+1}{2} x \sin \frac{x}{2} = \sin \frac{k+2}{2}x - \sin \frac{kx}{2}.#
Доказать, что #\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin nx = \frac{\sin \frac{n+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{nx}{2}.#
Решение:
1. При #n=1# утверждение справедливо. 2. Пусть #\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin kx = \frac{\sin \frac{k+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{kx}{2}.# Тогда #\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin kx + \sin(k+1)x = \frac{\sin \frac{k+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{k+1}{2}x \cos \frac{k+1}{2}x= \frac{\sin \frac{k+2}{2}x}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{k+1}{2}x,# ибо #2 \cos \frac{k+1}{2} x \sin \frac{x}{2} = \sin \frac{k+2}{2}x - \sin \frac{kx}{2}.#
