Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1006
2014-05-21 
Доказать, что #n# плоскостей, проходящих через одну точку так,что никакие три из них не проходят через одну прямую, делят пространство на #A_{n}=n(n-1)+2# частей.
Решение:
1. Одна плоскость делит пространство на две части, и #A_{1}=2.# Для #n=1# утверждение справедливо. 2. Предположим, что утверждение справедливо для #n=k,# т. е. #k# плоскостей делят пространство на #k(k-1)+2# частей. Докажем, что тогда #k+1# . плоскостей делят пространство на #k(k+1)+2# частей. Действительно, пусть #P# есть #(k+1)#-я плоскость. С каждой из первых #k# плоскостей плоскость #P# пересекается по некоторой прямой и, таким образом, плоскость #P# разбита на части посредством #k# различных прямых, проходящих через одну точку. На основании задачи 16 утверждаем, что плоскость #P# разбита на #2k# частей, каждая из которых представляет собой плоский угол с вершиной в данной точке. Первые #k# плоскостей делят пространство на некоторые многогранные углы. Некоторые из этих многогранных углов делятся посредством плоскости #P# на две части. Общей гранью двух таких частей служит часть плоскости, ограниченная двумя лучами, по которым #P# пересекается с гранями данного многогранного угла, т. е, один из #2k# плоских углов, на которые плоскость #P# разбита. Это означает, что число многогранных углов, разбиваемых на две части плоскостью #P,# не может быть больше, чем #2k.# С другой стороны, каждая из #2k# частей, на которые разбивается плоскость #P,# в результате пересечения ее с первыми #k# плоскостями, является общей гранью двух многогранных углов и таким образом делит многогранный угол, образованный первыми #k# плоскостями, на две части, Это означает, что число многогранных углов, которые разбиваются на две части плоскостью #P,# не может быть меньше, чем #2k.# Итак, плоскость #P# разбивает на две части точно #2k# частей пространства, образованных первыми #k# плоскостями. Поэтому если #k# плоскостей разбивают пространство на #k(k-1)+2# частей, #k+1# плоскость разбивает пространство на #[k(k-1)+2]+2k=k(k+1)+2# частей. Утверждение доказано.
Доказать, что #n# плоскостей, проходящих через одну точку так,что никакие три из них не проходят через одну прямую, делят пространство на #A_{n}=n(n-1)+2# частей.
Решение:
1. Одна плоскость делит пространство на две части, и #A_{1}=2.# Для #n=1# утверждение справедливо. 2. Предположим, что утверждение справедливо для #n=k,# т. е. #k# плоскостей делят пространство на #k(k-1)+2# частей. Докажем, что тогда #k+1# . плоскостей делят пространство на #k(k+1)+2# частей. Действительно, пусть #P# есть #(k+1)#-я плоскость. С каждой из первых #k# плоскостей плоскость #P# пересекается по некоторой прямой и, таким образом, плоскость #P# разбита на части посредством #k# различных прямых, проходящих через одну точку. На основании задачи 16 утверждаем, что плоскость #P# разбита на #2k# частей, каждая из которых представляет собой плоский угол с вершиной в данной точке. Первые #k# плоскостей делят пространство на некоторые многогранные углы. Некоторые из этих многогранных углов делятся посредством плоскости #P# на две части. Общей гранью двух таких частей служит часть плоскости, ограниченная двумя лучами, по которым #P# пересекается с гранями данного многогранного угла, т. е, один из #2k# плоских углов, на которые плоскость #P# разбита. Это означает, что число многогранных углов, разбиваемых на две части плоскостью #P,# не может быть больше, чем #2k.# С другой стороны, каждая из #2k# частей, на которые разбивается плоскость #P,# в результате пересечения ее с первыми #k# плоскостями, является общей гранью двух многогранных углов и таким образом делит многогранный угол, образованный первыми #k# плоскостями, на две части, Это означает, что число многогранных углов, которые разбиваются на две части плоскостью #P,# не может быть меньше, чем #2k.# Итак, плоскость #P# разбивает на две части точно #2k# частей пространства, образованных первыми #k# плоскостями. Поэтому если #k# плоскостей разбивают пространство на #k(k-1)+2# частей, #k+1# плоскость разбивает пространство на #[k(k-1)+2]+2k=k(k+1)+2# частей. Утверждение доказано.
