Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1004
2015-02-14 
Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
Решение:
1. Сумма #1^{3} 2^{3} 3^{3}# делится на 9. Значит, утверждение справедливо, когда первым из трех последовательных натуральных чисел является 1.
2. Пусть сумма #k^{3} (k-1)^{3} (k-2)^{3},# где #k# — некоторое натуральное число, делится на 9, Сумма #(k-1)^{3} (k-2)^{3} (k-3)^{3}=(k- 1)^{3} (k-2)^{3} k^{3} 9k^{2} 27k 27=[k^{3} (k-1)^{3} (k-2)^{3}] 9(k^{2}-3k-3)# представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 9, а потому тоже делится на 9.
Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
Решение:
1. Сумма #1^{3} 2^{3} 3^{3}# делится на 9. Значит, утверждение справедливо, когда первым из трех последовательных натуральных чисел является 1.
2. Пусть сумма #k^{3} (k-1)^{3} (k-2)^{3},# где #k# — некоторое натуральное число, делится на 9, Сумма #(k-1)^{3} (k-2)^{3} (k-3)^{3}=(k- 1)^{3} (k-2)^{3} k^{3} 9k^{2} 27k 27=[k^{3} (k-1)^{3} (k-2)^{3}] 9(k^{2}-3k-3)# представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 9, а потому тоже делится на 9.
