ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-02-14   
Выпишем в порядке возрастания нечетные положительные числа #1,3,5,7, \cdots#
Обозначим первое из них #u_{1},# второе #u_{2},# третье #u_{3}# и т.д., т.е.
#u_{1} = 1, u_{2} = 3,# #u_{3} = 5, u_{4} = 7, \cdots# Поставим перед собой такую задачу: составить формулу,
выражающую нечетное число #u_{n}# через его номер #n.#


Решение:


Первое нечетное число #u_{1}# можно записать так: #u_{1} = 2 \cdot 1 - 1;# (1)
второе нечетное число #u_{2}# можно запиcать так: #u_{2} = 2 \cdot 2 - 1;# (2)
третье нечетное число #u_{3}# можно записать так: #u_{3} = 2 \cdot 3 - 1.# (3)
Внимательно раccматривая равенcтва (1), (2), (3), можно высказать
гипотезу, что для получения любого нечетного числа достаточно от удвоенного номера его отнять 1,
т.е. для #n#-го нечетного числа имеем формулу #u_{n} = 2n - 1.# (4)
Докажем, что формула эта справедлива.
1. А равенство (1) показывает, что для #n = 1# формула (4) справедлива.
2. Предположим, что формула (4) справедлива для #n=k,# т. е. #k#-е нечетное число имеет вид #u_{k} = 2k -1.#
Докажем, что тогда формула (4) обязана быть справедливой и для #(k+1)# -го нечетного числа,
т. е. что #(k+1)#-е нечетное число имеет вид #u_{k+1} = 2(k+1) - 1,# или, что все равно, #u_{k+1} = 2k+1.#
Для получения #(k+1)# -го нечетного числа достаточно к #k#-му нечетному числу прибавить 2, т, е. #u_{k+1} = u_{k}+ 2.# по, по
условию, #u_{k} = 2k-1.# Значит, #u_{k+1} = (2k-1) + 2 = 2k + 1,# что и требовалось доказать.