Разделы 
Дополнительно
Задача по химии - 4353
2025-05-08 
Радиоуглеродный анализ бивня мамонта, обнаруженного при раскопках летом 2014 г. в Сибири, показал, что количество изотопа $^{14}C$ в находке составляет в среднем 2 % от его нормального содержания в живом организме.
Определите, сколько приблизительно лет тому назад жил мамонт, если скорость распада $^{14}C$ прямо пропорциональна его количеству, а период полураспада равен 5700 лет.
Решение:
Пусть $N(\tau)$ - текущее число изотопов $^{14}C$ в останках животного. Тогда по условию задачи справедливо уравнение
$\frac{dN(\tau)}{d\tau} = -kN(\tau)$, (1)
где $k$ - константа скорости радиоактивного распада, равная обратной величине характерного времени жизни изотопа ($\tau$).
Обозначим через $N_{0}$ число атомов $^{14}C$ в живом организме. Тогда, решая задачу Коши, получим
$N(\tau) = N_{0} e^{ \frac{-\tau }{T_{e}}}$, (2)
где $T_{e}$ - время, за которое число изотопов уменьшается в е (2,7182...) раз.
Нетрудно показать, что выражение (2) можно переписать в виде
$N(\tau) = N_{0} 2^{- \frac{ \tau}{T_{1/2}}}$, (3)
где $T_{1/2}$ - период полураспада изотопов (время, за которое их количество уменьшается вдвое).
Из выражения (3) можно выразить время $\tau$:
$\tau = -\frac{T_{1/2} ln \left ( \frac{N(\tau)}{N_{0}} \right )}{ln 2}$. (4)
По условию задачи $\frac{N(\tau)}{N_{0}} = 0,02$ и $T_{1/2} = 5700$ лет, тогда окончательно получаем, что $\tau = 32170$ лет.
Ответ: мамонт жил приблизительно 32170 лет тому назад.
Радиоуглеродный анализ бивня мамонта, обнаруженного при раскопках летом 2014 г. в Сибири, показал, что количество изотопа $^{14}C$ в находке составляет в среднем 2 % от его нормального содержания в живом организме.
Определите, сколько приблизительно лет тому назад жил мамонт, если скорость распада $^{14}C$ прямо пропорциональна его количеству, а период полураспада равен 5700 лет.
Решение:
Пусть $N(\tau)$ - текущее число изотопов $^{14}C$ в останках животного. Тогда по условию задачи справедливо уравнение
$\frac{dN(\tau)}{d\tau} = -kN(\tau)$, (1)
где $k$ - константа скорости радиоактивного распада, равная обратной величине характерного времени жизни изотопа ($\tau$).
Обозначим через $N_{0}$ число атомов $^{14}C$ в живом организме. Тогда, решая задачу Коши, получим
$N(\tau) = N_{0} e^{ \frac{-\tau }{T_{e}}}$, (2)
где $T_{e}$ - время, за которое число изотопов уменьшается в е (2,7182...) раз.
Нетрудно показать, что выражение (2) можно переписать в виде
$N(\tau) = N_{0} 2^{- \frac{ \tau}{T_{1/2}}}$, (3)
где $T_{1/2}$ - период полураспада изотопов (время, за которое их количество уменьшается вдвое).
Из выражения (3) можно выразить время $\tau$:
$\tau = -\frac{T_{1/2} ln \left ( \frac{N(\tau)}{N_{0}} \right )}{ln 2}$. (4)
По условию задачи $\frac{N(\tau)}{N_{0}} = 0,02$ и $T_{1/2} = 5700$ лет, тогда окончательно получаем, что $\tau = 32170$ лет.
Ответ: мамонт жил приблизительно 32170 лет тому назад.
