Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9999
2018-11-10 
В горизонтальной трубе застряла пробка, которую надо вытащить. Юный экспериментатор Андрей выяснил, что для того, чтобы вытолкнуть пробку, необходимо приложить постоянную минимальную силу $F = 200 Н$ вдоль оси трубы. Ему показалось это слишком трудным, и он решил создать установку для выталкивания пробок. Для этого он использовал горизонтальный цилиндр с поршнем А сечением $S_{A} = 10 см^{2}$ с гладкими стенками и жесткий рычаг СD, который мог вращаться без трения вокруг закрепленного шарнира О в горизонтальной плоскости. Точка О делила рычаг СD в соотношении $l_{1} : l_{2} = 1:2$. После подсоединения стержней AD и CB к шарнирам D и C в сосуде был воздух при атмосферном давлении $P_{0} = 10^{5} Па$ и занимал объем $V = 3 л$, а стержни AD и CB параллельны. Далее Андрей подал с помощью нагревателя тепло $Q = 757 Дж$, и пробка, переместившись на некоторое расстояние $\Delta x$, выскочила из трубы.
1) Найти КПД такой установки, округлив результат до сотых процента.
2) Предложите Андрею способы увеличения КПД. Обоснуйте.
Примечание: воздух - в основном двухатомный газ (78% азота и 21% кислорода), который можно считать идеальным при давлениях, не очень сильно превышающих атмосферное. Для двухатомного идеального газа внутренняя энергия вычисляется по формуле $U = \frac{5}{2} \nu RT$.
Решение:
1) Сначала надо выяснить, какой избыток давления в цилиндре должен быть, чтобы пробка сдвинулась с места. Пусть сила, действующая на поршень В со стороны стержня СВ равна $F_{B} = F = 200 Н$. Тогда на поршень А будет действовать сила $F_{A}$ со стороны стержня DA. По закону моментов сил:
$F_{A} l_{2} = F_{B} l_{1} \Rightarrow F_{A} = F_{B} \frac{l_{1} }{l_{2} } = \frac{1}{2} F_{B} = \frac{1}{2} F = 100 H$
$\Delta P = P - P_{0} = \frac{F_{A} }{S_{A} } = \frac{100}{10 \cdot 10^{-4} } = 10^{5} Па$.
Таким образом, для того, чтобы пробка смогла сдвинуться, надо нагреть воздух в цилиндре изохорически и довести его давление до значения $P = P_{0} + \Delta P = 2 \cdot 10^{5} Па$.
На это потребуется количество тепла $Q_{1} = \Delta U = 2 \Delta ( PV ) = \frac{5}{2} V \Delta P = \frac{5}{2} \cdot 3 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{5} = 750 Дж$.
Затем осуществляется изобарическое расширение газа при $P = 2 \cdot 10^{5} Па$, при этом поршень А должен переместиться на расстояние $\Delta x_{A} = \frac{l_{2} }{l_{1} } \Delta x_{B} = 2 \Delta x$.
На этом этапе был подведен остаток тепла $Q_{2} = Q - Q_{1} = 7 Дж$
$Q_{2} = \frac{5}{2} P \Delta V + P \Delta V = \frac{7}{2} P \Delta V = \frac{7}{2} PS_{A} 2 \Delta x \Rightarrow \Delta x = \frac{Q_{2}}{7PS_{A} } = \frac{7}{7 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10 \cdot 10^{-4} } = 0,005 м$
Таким образом, пробка переместилась на 5 мм, при этом была совершена работа
$A = F \Delta x = 200 \cdot 0,005 = 1 Дж$. Это полезная работа. КПД равен $\eta = \frac{A}{Q} 100% = \frac{1}{757} 100% = 0,13%$
2) Полезную работу изменить нельзя, так как она зависит от трения в трубе с пробкой, а на это повлиять нельзя. Зато можно уменьшить полученное тепло $Q$.
$Q = Q_{1} + Q_{2} = \frac{5}{2} V \Delta P + \frac{7}{2} PS_{A} \Delta x_{A} = \frac{5}{2} V \frac{F_{A} }{S_{A} } + \frac{7}{2} \left ( P_{0} + \frac{F_{A} }{S_{A} } \right ) S_{A} \Delta x_{A} = \frac{5}{2} V \frac{l_{1} }{l_{2} } \frac{F}{S_{A} } + \frac{7}{2} \left ( P_{0}S_{A} + \frac{l_{1} }{l_{2} } F \right ) \frac{l_{2} }{l_{1} } \Delta x = \frac{5}{2} V \frac{l_{1} }{l_{2} } \frac{F}{S_{A} } + \frac{7}{2} \left ( \frac{l_{2} }{l_{1} } P_{0}S_{A} + F \right )$.
1) можно уменьшить начальный объем воздуха
2) Можно изменить соотношение $\frac{l_{2}S_{A} }{l_{1} } = \alpha$, но необходимо исследовать зависимость теплоты от $\alpha$, так как в одном слагаемом $\alpha$ стоит в знаменателе, а в другом - в числителе.
В горизонтальной трубе застряла пробка, которую надо вытащить. Юный экспериментатор Андрей выяснил, что для того, чтобы вытолкнуть пробку, необходимо приложить постоянную минимальную силу $F = 200 Н$ вдоль оси трубы. Ему показалось это слишком трудным, и он решил создать установку для выталкивания пробок. Для этого он использовал горизонтальный цилиндр с поршнем А сечением $S_{A} = 10 см^{2}$ с гладкими стенками и жесткий рычаг СD, который мог вращаться без трения вокруг закрепленного шарнира О в горизонтальной плоскости. Точка О делила рычаг СD в соотношении $l_{1} : l_{2} = 1:2$. После подсоединения стержней AD и CB к шарнирам D и C в сосуде был воздух при атмосферном давлении $P_{0} = 10^{5} Па$ и занимал объем $V = 3 л$, а стержни AD и CB параллельны. Далее Андрей подал с помощью нагревателя тепло $Q = 757 Дж$, и пробка, переместившись на некоторое расстояние $\Delta x$, выскочила из трубы.
1) Найти КПД такой установки, округлив результат до сотых процента.
2) Предложите Андрею способы увеличения КПД. Обоснуйте.
Примечание: воздух - в основном двухатомный газ (78% азота и 21% кислорода), который можно считать идеальным при давлениях, не очень сильно превышающих атмосферное. Для двухатомного идеального газа внутренняя энергия вычисляется по формуле $U = \frac{5}{2} \nu RT$.
Решение:
1) Сначала надо выяснить, какой избыток давления в цилиндре должен быть, чтобы пробка сдвинулась с места. Пусть сила, действующая на поршень В со стороны стержня СВ равна $F_{B} = F = 200 Н$. Тогда на поршень А будет действовать сила $F_{A}$ со стороны стержня DA. По закону моментов сил:
$F_{A} l_{2} = F_{B} l_{1} \Rightarrow F_{A} = F_{B} \frac{l_{1} }{l_{2} } = \frac{1}{2} F_{B} = \frac{1}{2} F = 100 H$
$\Delta P = P - P_{0} = \frac{F_{A} }{S_{A} } = \frac{100}{10 \cdot 10^{-4} } = 10^{5} Па$.
Таким образом, для того, чтобы пробка смогла сдвинуться, надо нагреть воздух в цилиндре изохорически и довести его давление до значения $P = P_{0} + \Delta P = 2 \cdot 10^{5} Па$.
На это потребуется количество тепла $Q_{1} = \Delta U = 2 \Delta ( PV ) = \frac{5}{2} V \Delta P = \frac{5}{2} \cdot 3 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{5} = 750 Дж$.
Затем осуществляется изобарическое расширение газа при $P = 2 \cdot 10^{5} Па$, при этом поршень А должен переместиться на расстояние $\Delta x_{A} = \frac{l_{2} }{l_{1} } \Delta x_{B} = 2 \Delta x$.
На этом этапе был подведен остаток тепла $Q_{2} = Q - Q_{1} = 7 Дж$
$Q_{2} = \frac{5}{2} P \Delta V + P \Delta V = \frac{7}{2} P \Delta V = \frac{7}{2} PS_{A} 2 \Delta x \Rightarrow \Delta x = \frac{Q_{2}}{7PS_{A} } = \frac{7}{7 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10 \cdot 10^{-4} } = 0,005 м$
Таким образом, пробка переместилась на 5 мм, при этом была совершена работа
$A = F \Delta x = 200 \cdot 0,005 = 1 Дж$. Это полезная работа. КПД равен $\eta = \frac{A}{Q} 100% = \frac{1}{757} 100% = 0,13%$
2) Полезную работу изменить нельзя, так как она зависит от трения в трубе с пробкой, а на это повлиять нельзя. Зато можно уменьшить полученное тепло $Q$.
$Q = Q_{1} + Q_{2} = \frac{5}{2} V \Delta P + \frac{7}{2} PS_{A} \Delta x_{A} = \frac{5}{2} V \frac{F_{A} }{S_{A} } + \frac{7}{2} \left ( P_{0} + \frac{F_{A} }{S_{A} } \right ) S_{A} \Delta x_{A} = \frac{5}{2} V \frac{l_{1} }{l_{2} } \frac{F}{S_{A} } + \frac{7}{2} \left ( P_{0}S_{A} + \frac{l_{1} }{l_{2} } F \right ) \frac{l_{2} }{l_{1} } \Delta x = \frac{5}{2} V \frac{l_{1} }{l_{2} } \frac{F}{S_{A} } + \frac{7}{2} \left ( \frac{l_{2} }{l_{1} } P_{0}S_{A} + F \right )$.
1) можно уменьшить начальный объем воздуха
2) Можно изменить соотношение $\frac{l_{2}S_{A} }{l_{1} } = \alpha$, но необходимо исследовать зависимость теплоты от $\alpha$, так как в одном слагаемом $\alpha$ стоит в знаменателе, а в другом - в числителе.
