Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9997
2018-11-10 
Два шара массой $m_{1} = 1 кг$ каждый, подвешенные на нитях длиной $l = 90 см$, отводят от положения равновесия на угол $\alpha = 60^{ \circ}$ и отпускают. В момент прохождения шарами положения равновесия в них попадают пули массами $m_{2} = 10 г$ каждая - одна, летящая навстречу шару со скоростью $V_{2} = 300 м/с$, а вторая, летящая с такой же скоростью, но догоняя шар. Они пробивают эти шары и вылетают горизонтально со скоростями первая $V_{2}^{ \prime} = 200 м/с$, а вторая с некоторой скоростью $V_{2}^{ \prime \prime}$, после чего шары продолжают движение в прежнем направлении, поднимаясь на некоторую высоту $h_{1}$ и $h_{2}$. Во сколько раз высота подъема $h_{2}$ больше $h_{1}$, если потери энергии на тепло при столкновении шаров с пулями были одинаковыми? Принять $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Найдем скорость шаров в положении равновесия (из закона сохранения энергии):
$m_{1}gl (1 - \cos \alpha) = \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} \Rightarrow V_{1} = \sqrt{2gl(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0,9(1 - 0,5)} = 3 м/с$
Из закона сохранения импульса найдем скорость первого шара после встречи с пулей:
$m_{1}V_{1} - m_{2}V_{2} = m_{1}V_{1}^{ \prime} - m_{2}V_{2}^{ \prime} \Rightarrow V_{1}^{ \prime} = \frac{m_{1}V_{1} - m_{2}V_{2} + m_{2}V_{2}^{ \prime} }{m_{1} } = \frac{1 \cdot 3 - 0,01 \cdot 300 + 0,01 \cdot 200}{1} = 2 м/с$
Из закона сохранения энергии найдем высоту подъема шара $h_{1}$
$\frac{m_{1}V_{1}^{ \prime 2} }{2} = m_{1}gh_{1} \Rightarrow h_{1} = \frac{V_{1}^{ \prime 2} }{2g} = \frac{2^{2} }{20} = 0,2 м$
При пробивании шара часть энергии шара и пули перешла в тепло
$Q = \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{ \prime 2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{ \prime 2} }{2} \right ) = \left ( \frac{1 \cdot 3^{2} }{2} + \frac{0,01 \cdot 300^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{1 \cdot 2^{2} }{2} + \frac{0,01 \cdot 200^{2} }{2} \right ) = 454,5 - 202 = 252,5 Дж$
При пробивании второго шара выделится столько же тепла
$Q = \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{ \prime \prime 2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{ \prime \prime 2} }{2} \right ) = 454,4 - \left ( \frac{1 \cdot V_{1}^{ \prime \prime 2} }{2} + \frac{0,01 \cdot V_{2}^{ \prime \prime 2} }{2} \right ) = 252,5 Дж \Rightarrow V_{1}^{ \prime \prime 2} + 0,01 V_{2}^{ \prime \prime 2} = 2(454,5 - 252,5) = 404 м^{2}/с^{2}$.
Из закона сохранения импульса
$m_{1}V_{1} + m_{2}V_{2} = m_{1}V_{1}^{ \prime \prime} + m_{2}V_{2}^{ \prime \prime} \Rightarrow V_{2}^{ \prime \prime} = \frac{m_{1}V_{1} + m_{2}V_{2} - m_{1}V_{1}^{ \prime \prime} }{m_{2} } = \frac{1 \cdot 3 + 0,01 \cdot 300 = 1 \cdot V_{1}^{ \prime \prime} }{0,01} = 600 - 100 V_{1}^{ \prime \prime}$
Подставим это выражение в предыдущее уравнение и найдем $V_{1}^{ \prime \prime}$
$V_{1}^{ \prime \prime 2} + 0,01 (600 - 100V_{1}^{ \prime} )^{2} = 404 м^{2}/с^{2} \Rightarrow V_{1}^{ \prime \prime 2} + 3600 - 1200V_{1}^{ \prime \prime} + 100V_{1}^{ \prime \prime 2} = 404$
$101V_{1}^{ \prime \prime 2} - 1200V_{1}^{ \prime \prime} + 3196 = 0 \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{1200^{2} - 4 \cdot 101 \cdot 3196 } = \sqrt{148816} = 385,8 м/с$
$V_{1}^{ \prime \prime} = \frac{1200 - 385,8}{202} = 4,03 м/с$. Второе решение $V_{1}^{ \prime \prime} = \frac{1200 + 385,8}{202} = 7,85 м/с$ не подходит, так как в этом случае скорость пули $V_{2}^{ \prime \prime} = 600 - 100V_{1}^{ \prime \prime} = - 185 м/с$ будет отрицательной, что не удовлетворяет условию движения пули в том же направлении, что и до попадания в шар.
По закону сохранения энергии найдем $h_{2}$:
$\frac{m_{1}V_{1}^{ \prime \prime 2}}{2} = m_{1}gh_{2} \Rightarrow h_{2} = \frac{V_{1}^{ \prime \prime 2} }{2g} = \frac{4,03^{2} }{20} = 0,812 м$
Ответ: $\frac{h_{2} }{h_{1} } = \frac{0,812}{0,2} = 4,06$ раз
Два шара массой $m_{1} = 1 кг$ каждый, подвешенные на нитях длиной $l = 90 см$, отводят от положения равновесия на угол $\alpha = 60^{ \circ}$ и отпускают. В момент прохождения шарами положения равновесия в них попадают пули массами $m_{2} = 10 г$ каждая - одна, летящая навстречу шару со скоростью $V_{2} = 300 м/с$, а вторая, летящая с такой же скоростью, но догоняя шар. Они пробивают эти шары и вылетают горизонтально со скоростями первая $V_{2}^{ \prime} = 200 м/с$, а вторая с некоторой скоростью $V_{2}^{ \prime \prime}$, после чего шары продолжают движение в прежнем направлении, поднимаясь на некоторую высоту $h_{1}$ и $h_{2}$. Во сколько раз высота подъема $h_{2}$ больше $h_{1}$, если потери энергии на тепло при столкновении шаров с пулями были одинаковыми? Принять $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Найдем скорость шаров в положении равновесия (из закона сохранения энергии):
$m_{1}gl (1 - \cos \alpha) = \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} \Rightarrow V_{1} = \sqrt{2gl(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0,9(1 - 0,5)} = 3 м/с$
Из закона сохранения импульса найдем скорость первого шара после встречи с пулей:
$m_{1}V_{1} - m_{2}V_{2} = m_{1}V_{1}^{ \prime} - m_{2}V_{2}^{ \prime} \Rightarrow V_{1}^{ \prime} = \frac{m_{1}V_{1} - m_{2}V_{2} + m_{2}V_{2}^{ \prime} }{m_{1} } = \frac{1 \cdot 3 - 0,01 \cdot 300 + 0,01 \cdot 200}{1} = 2 м/с$
Из закона сохранения энергии найдем высоту подъема шара $h_{1}$
$\frac{m_{1}V_{1}^{ \prime 2} }{2} = m_{1}gh_{1} \Rightarrow h_{1} = \frac{V_{1}^{ \prime 2} }{2g} = \frac{2^{2} }{20} = 0,2 м$
При пробивании шара часть энергии шара и пули перешла в тепло
$Q = \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{ \prime 2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{ \prime 2} }{2} \right ) = \left ( \frac{1 \cdot 3^{2} }{2} + \frac{0,01 \cdot 300^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{1 \cdot 2^{2} }{2} + \frac{0,01 \cdot 200^{2} }{2} \right ) = 454,5 - 202 = 252,5 Дж$
При пробивании второго шара выделится столько же тепла
$Q = \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{2} }{2} \right ) - \left ( \frac{m_{1}V_{1}^{ \prime \prime 2} }{2} + \frac{m_{2}V_{2}^{ \prime \prime 2} }{2} \right ) = 454,4 - \left ( \frac{1 \cdot V_{1}^{ \prime \prime 2} }{2} + \frac{0,01 \cdot V_{2}^{ \prime \prime 2} }{2} \right ) = 252,5 Дж \Rightarrow V_{1}^{ \prime \prime 2} + 0,01 V_{2}^{ \prime \prime 2} = 2(454,5 - 252,5) = 404 м^{2}/с^{2}$.
Из закона сохранения импульса
$m_{1}V_{1} + m_{2}V_{2} = m_{1}V_{1}^{ \prime \prime} + m_{2}V_{2}^{ \prime \prime} \Rightarrow V_{2}^{ \prime \prime} = \frac{m_{1}V_{1} + m_{2}V_{2} - m_{1}V_{1}^{ \prime \prime} }{m_{2} } = \frac{1 \cdot 3 + 0,01 \cdot 300 = 1 \cdot V_{1}^{ \prime \prime} }{0,01} = 600 - 100 V_{1}^{ \prime \prime}$
Подставим это выражение в предыдущее уравнение и найдем $V_{1}^{ \prime \prime}$
$V_{1}^{ \prime \prime 2} + 0,01 (600 - 100V_{1}^{ \prime} )^{2} = 404 м^{2}/с^{2} \Rightarrow V_{1}^{ \prime \prime 2} + 3600 - 1200V_{1}^{ \prime \prime} + 100V_{1}^{ \prime \prime 2} = 404$
$101V_{1}^{ \prime \prime 2} - 1200V_{1}^{ \prime \prime} + 3196 = 0 \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{1200^{2} - 4 \cdot 101 \cdot 3196 } = \sqrt{148816} = 385,8 м/с$
$V_{1}^{ \prime \prime} = \frac{1200 - 385,8}{202} = 4,03 м/с$. Второе решение $V_{1}^{ \prime \prime} = \frac{1200 + 385,8}{202} = 7,85 м/с$ не подходит, так как в этом случае скорость пули $V_{2}^{ \prime \prime} = 600 - 100V_{1}^{ \prime \prime} = - 185 м/с$ будет отрицательной, что не удовлетворяет условию движения пули в том же направлении, что и до попадания в шар.
По закону сохранения энергии найдем $h_{2}$:
$\frac{m_{1}V_{1}^{ \prime \prime 2}}{2} = m_{1}gh_{2} \Rightarrow h_{2} = \frac{V_{1}^{ \prime \prime 2} }{2g} = \frac{4,03^{2} }{20} = 0,812 м$
Ответ: $\frac{h_{2} }{h_{1} } = \frac{0,812}{0,2} = 4,06$ раз
