Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9993
2018-11-10 
Маленький мальчик играет с деревянным бруском массы $m = 50 г$ из набора для детского творчества. Построив горку он двигает брусок с постоянной скоростью $v = 10 см/с$, толкая его вдоль траектории движения бруска (движение бруска в вертикальной плоскости). Оказалось, что первая часть траектории АВ представляет из себя часть дуги радиусом $R = OA = 20 см$, угловые размеры которой $\alpha = 30^{ \circ}$, а вторая часть $BC = 40 см$ это прямолинейное продолжение, касательное к дуге АВ. Коэффициент трения бруска о поверхность горки везде одинаков и равен $\mu = 0,4$. Во сколько раз отличается работа, совершенная мальчиком на этих двух участках горки, если отрезок ОА вертикален? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
На участке ВС сила трения постоянна и равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha = 0,4 \cdot 0,05 \cdot 10 \frac{ \sqrt{3}}{2} = 0,173 Н$.
Работа силы трения на этом участке $A_{тр} = - F_{тр} |BC| = - 0,173 \cdot 0,4 = -0,0692 Дж$.
Потенциальная энергия бруска увеличилась на $\Delta E_{п} = mgh = mg|BC| \sin \alpha = 0,05 \cdot 10 \cdot 0,4 \cdot 0,5 = 0,1 Дж$.
Используем закон изменения полной механической энергии для этого участка:
$A_{1} + A_{тр} = \Delta E_{п} \Rightarrow A_{1} = \Delta E_{п} - A_{тр} = 0,1 + 0,0692 = 0,1692 Дж$ это работа мальчика на участке ВС.
На участке АВ у бруска есть центростремительное ускорение, поэтому
$N - mg \cos \beta = \frac{mv^{2} }{R} \Rightarrow N = mg \cos \beta + \frac{mv^{2} }{R}$
Сила трения будет зависеть от угла $\beta$ наклона касательной в каждой точке дуги к горизонту: $F_{тр} = \mu N = \frac{ \mu mv^{2} }{R} + \mu mg \cos \beta$
Чтобы найти работу трения, надо разбить участок АВ на маленькие участки длиной $\Delta l$ и суммировать все работы на каждом участке:
$A_{тр} = - \sum F_{тр} \Delta l = - \sum \frac{ \mu mv^{2} }{R} \Delta l - \sum mg \cos \beta \Delta l$
Учтем, что $\Delta l \cos \beta = \Delta x$ и тогда можно упростить суммирование:
$A_{тр} = - \frac{ \mu mv^{2} }{R} l_{дуги} - mg \Delta x_{общ}$, где $l_{дуги} = \frac{ \pi R}{6}$, а $\Delta x_{общ} = R \sin \alpha$
Таким образом $A_{тр} = - \frac{ \mu mv^{2} \pi }{6} - \mu mg R \sin \alpha = - 0,4 \cdot 0,05 \left ( \frac{3,14 \cdot 0,1^{2} }{6} + 10 \cdot 0,2 \frac{1}{2} \right ) = -0,0201 Дж$.
Изменение потенциальной энергии на этом участке равно
$\Delta E_{п} = mgh = mgR(1 - \cos \alpha) = 0,5 \cdot 0,2 \left ( 1 - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right ) = 0,0134 Дж$
Используем закон изменения полной механической энергии для этого участка:
$A_{2} + A_{тр} = \Delta E_{п} \Rightarrow A_{2} = \Delta E_{п} - A_{тр} = 0,0335 Дж$ это работа мальчика на участке АВ. Она меньше работы на участке ВС в $\frac{0,1692}{0,0335} = 5,05$ раза
Маленький мальчик играет с деревянным бруском массы $m = 50 г$ из набора для детского творчества. Построив горку он двигает брусок с постоянной скоростью $v = 10 см/с$, толкая его вдоль траектории движения бруска (движение бруска в вертикальной плоскости). Оказалось, что первая часть траектории АВ представляет из себя часть дуги радиусом $R = OA = 20 см$, угловые размеры которой $\alpha = 30^{ \circ}$, а вторая часть $BC = 40 см$ это прямолинейное продолжение, касательное к дуге АВ. Коэффициент трения бруска о поверхность горки везде одинаков и равен $\mu = 0,4$. Во сколько раз отличается работа, совершенная мальчиком на этих двух участках горки, если отрезок ОА вертикален? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
На участке ВС сила трения постоянна и равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha = 0,4 \cdot 0,05 \cdot 10 \frac{ \sqrt{3}}{2} = 0,173 Н$.
Работа силы трения на этом участке $A_{тр} = - F_{тр} |BC| = - 0,173 \cdot 0,4 = -0,0692 Дж$.
Потенциальная энергия бруска увеличилась на $\Delta E_{п} = mgh = mg|BC| \sin \alpha = 0,05 \cdot 10 \cdot 0,4 \cdot 0,5 = 0,1 Дж$.
Используем закон изменения полной механической энергии для этого участка:
$A_{1} + A_{тр} = \Delta E_{п} \Rightarrow A_{1} = \Delta E_{п} - A_{тр} = 0,1 + 0,0692 = 0,1692 Дж$ это работа мальчика на участке ВС.
На участке АВ у бруска есть центростремительное ускорение, поэтому
$N - mg \cos \beta = \frac{mv^{2} }{R} \Rightarrow N = mg \cos \beta + \frac{mv^{2} }{R}$
Сила трения будет зависеть от угла $\beta$ наклона касательной в каждой точке дуги к горизонту: $F_{тр} = \mu N = \frac{ \mu mv^{2} }{R} + \mu mg \cos \beta$
Чтобы найти работу трения, надо разбить участок АВ на маленькие участки длиной $\Delta l$ и суммировать все работы на каждом участке:
$A_{тр} = - \sum F_{тр} \Delta l = - \sum \frac{ \mu mv^{2} }{R} \Delta l - \sum mg \cos \beta \Delta l$
Учтем, что $\Delta l \cos \beta = \Delta x$ и тогда можно упростить суммирование:
$A_{тр} = - \frac{ \mu mv^{2} }{R} l_{дуги} - mg \Delta x_{общ}$, где $l_{дуги} = \frac{ \pi R}{6}$, а $\Delta x_{общ} = R \sin \alpha$
Таким образом $A_{тр} = - \frac{ \mu mv^{2} \pi }{6} - \mu mg R \sin \alpha = - 0,4 \cdot 0,05 \left ( \frac{3,14 \cdot 0,1^{2} }{6} + 10 \cdot 0,2 \frac{1}{2} \right ) = -0,0201 Дж$.
Изменение потенциальной энергии на этом участке равно
$\Delta E_{п} = mgh = mgR(1 - \cos \alpha) = 0,5 \cdot 0,2 \left ( 1 - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right ) = 0,0134 Дж$
Используем закон изменения полной механической энергии для этого участка:
$A_{2} + A_{тр} = \Delta E_{п} \Rightarrow A_{2} = \Delta E_{п} - A_{тр} = 0,0335 Дж$ это работа мальчика на участке АВ. Она меньше работы на участке ВС в $\frac{0,1692}{0,0335} = 5,05$ раза
