2016-09-17
В результате взрыва снаряда массой $m$, летевшего со скоростью $v$, образовались два одинаковых осколка. Пренебрегая массой взрывчатого вещества, найдите максимальный угол разлёта осколков, если сразу после взрыва их общая кинетическая энергия увеличилась на величину $\Delta W$.
Решение:
В системе отсчёта, движущейся вместе со снарядом, в соответствии с законом сохранения импульса скорости осколков сразу после взрыва одинаковы: $\vec{v}_{1c} = — \vec{v}_{2c}$. В неподвижной системе отсчёта скорости первого и второго осколков равны $\vec{v}_{1} = \vec{v} + \vec{v}_{1c}$ и $\vec{v}_{2} = \vec{v} + \vec{v}_{2c}$ соответственно (см. рис.). Согласно условию задачи,
$\Delta W = \frac{mv_{1}^{2}}{4} + \frac{mv_{2}^{2}}{4} - \frac{mv^{2}}{2}$.
Из записанных соотношений получаем: $v_{1c}^{2} = 2 \Delta W /m$.
Обозначим через $\alpha$ угол разлёта осколков, а через $\beta$ между векторами $\vec{v}$ и $\vec{v}_{1c}$. Тогда по теореме косинусов рис.)
$v_{1}^{2} = v^{2} + v_{1c}^{2} + 2vv_{1c} \cos \beta$,
$v_{2}^{2} = v^{2} + v_{1c}^{2} - 2vv_{1c} \cos \beta$,
$(2v_{1c})^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha$,
откуда получаем:
$\cos \alpha = \frac{v^{2} - v_{1c}^{2}}{ \sqrt{(v^{2} + v_{1c}^{2})^{2} - 4v^{2}v_{1c}^{2} \cos^{2} \beta}}$.
Максимальный угол разлёта осколков $\alpha_{max}$ лежит в пределах от $0$ до $\pi$, a $\cos \alpha_{max}$ — в пределах от 1 до —1. Если $v < v_{1c} = \sqrt{2 \Delta W/m}$, то из полученной формулы следует, что $\cos \alpha < 0$, и $\alpha_{max} = \pi$ достигается при $\beta = 0$, то есть осколки летят в разные стороны вдоль первоначального направления полёта снаряда. Если $v = v_{1c}$, то $\alpha = \pi/2$ при всех $\beta$, кроме $\beta = 0$, когда один из осколков останавливается $(v_{2} = 0)$, и угол разлёта не определён. Если же $v > v_{1c} = \sqrt{2 \Delta W /m}$, то $\cos \alpha > 0$, и $\alpha_{max}$ достигается при минимальном значении $\cos \alpha$, то есть при $\beta = \pi/2$. При этом
$\cos \alpha_{max} = \frac{v^{2} - v_{1c}^{2}}{v^{2} + v_{1c}^{2}} = \frac{mv^{2} - 2 \Delta W}{mv^{2} + 2 \Delta W}$.