Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9986
2018-11-09 
На рис. показана оптическая система, состоящая из зеркала Z и трех поляризаторов $П_{1}, П_{2}$ и $П_{3}$. Поляризаторы $П_{1}$ и $П_{3}$ установлены так, что их плоскости поляризации взаимно перпендикулярны. На систему направляют пучок неполяризованного света интенсивностью $I_{0}$.
1. Определить наибольшую возможную интенсивность $I$ пучка света, отраженного от системы. Какой ориентации плоскости поляризации поляризатора $П_{2}$ соответствует это значение?
2. Можно ли увеличить отношение $I/I_{0}$ (и до какого предела), установив вместо поляризатора $П_{2}$ систему из произвольного числа поляризаторов?
Считать, что поляризаторы идеальны, т. е. не отражают свет, и что свет, поляризованный в плоскости пропускания, полностью проходит через поляризатор, а свет, поляризованный в перпендикулярной плоскости, полностью поглощается.
Решение:
После прохождения через поляризатор $П_{1}$ свет будет поляризоваться линейно и его интенсивность $I_{1}$ будет равна $\frac{1}{2} I_{0}$.
Пусть плоскость поляризации поляризатора $П_{2}$ составляет угол $\beta$ с плоскостью поляризации $П_{1}$. Пройдя через $П_{2}$, свет будет иметь интенсивность /2 = Л cos2 р,
$I_{2} = I_{1} \cos^{2} \beta$,
а после прохождения света через поляризатор $П_{3}$ его интенсивность
$I_{3} = I_{2} \cos^{2} (90^{ \circ} - \beta) = I_{2} \sin^{2} \beta$.
После отражения от зеркала свет вновь попадает на поляризатор $П_{3}$, поскольку он поляризован в плоскости поляризации этого поляризатора, но после вторичного прохождения через $П_{3}$ интенсивность света не изменится. После второго прохождения через $П_{2}$ интенсивность света
$I_{4} = I_{3} \cos^{2} (90^{ \circ} - \beta) = I_{3} \sin^{2} \beta$
и после второго прохождения через $П_{1}$ интенсивность света оказывается равной
$I_{5} = I_{4} \cos^{2} \beta$. Наконец, $I_{5} = \frac{1}{32} I_{0} \sin^{4} 2 \beta$.
Искомая интенсивность $I$ равна максимальному значению $I_{5}$ и, очевидно, равна $1/32 I_{0}$. Это значение достигается тогда, когда плоскость пропускания поляризатора $П_{2}$ составляет угол $45^{ \circ}$ с плоскостью пропускания поляризатора $П_{1}$ и $П_{3}$ (при этом $\sin 2 \beta = \pm 1$).
Перейдем теперь ко второй части задачи. Поместим между $П_{1}$ и $П_{3}$ систему поляризаторов $П_{1}^{ \prime}, \cdots, П_{n - 1}^{ \prime} (n > 1)$. Пусть плоскости пропускания каждого из поляризаторов системы
$П_{1}, П_{1}^{ \prime}, П_{2}^{ \prime}, \cdots, П_{n-1}^{ \prime}, П_{3}$
сдвинуты на угол $\beta = \frac{1}{2} \frac{ \pi}{n}$.
Конечная интенсивность пучка света будет теперь равна
$I_{к} = \frac{1}{2} \cos^{4n} \left ( \frac{ \pi / 2}{n} \right ) I_{0}$.
При $n \rightarrow \infty$ это значение стремится к $\frac{1}{2} I_{0} > I = \frac{I_{0} }{32}$. Поскольку после прохождения света через первый поляризатор его интенсивность падает до $I_{0}/2$, наибольшее значение интенсивности пучка света, прошедшего через систему поляризаторов, составляет $I_{0}/2$. Для полноты решения приведем доказательство того, что $lim_{ n \rightarrow \infty} \cos^{4n}( \pi /2n) = 1$. Прежде всего отметим, что
$1 \geq \cos \alpha \geq 1 - \frac{ \alpha^{2} }{2}$.
Согласно неравенству Бернулли, $(1 - x)^{n} \geq 1 - nx$. Поэтому
$1 \geq \left ( \cos \frac{ \pi}{2n} \right )^{4n} \geq \left ( 1 - \frac{ \pi^{2} }{8n^{2} } \right )^{4n} \geq \left ( 1 - \frac{ \pi^{2} }{2 \pi } \right ) \rightarrow_{n \rightarrow \infty} 1$,
т.е. $lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \cos \frac{ \pi}{2n} \right )^{4n} = 1$.
Следовательно,
$lim_{ n \rightarrow \infty} I_{n} = \frac{1}{2} I_{0} lim \left ( \cos \frac{ \pi}{2n} \right )^{4n} = \frac{1}{2} I_{0}$.
На рис. показана оптическая система, состоящая из зеркала Z и трех поляризаторов $П_{1}, П_{2}$ и $П_{3}$. Поляризаторы $П_{1}$ и $П_{3}$ установлены так, что их плоскости поляризации взаимно перпендикулярны. На систему направляют пучок неполяризованного света интенсивностью $I_{0}$.
1. Определить наибольшую возможную интенсивность $I$ пучка света, отраженного от системы. Какой ориентации плоскости поляризации поляризатора $П_{2}$ соответствует это значение?
2. Можно ли увеличить отношение $I/I_{0}$ (и до какого предела), установив вместо поляризатора $П_{2}$ систему из произвольного числа поляризаторов?
Считать, что поляризаторы идеальны, т. е. не отражают свет, и что свет, поляризованный в плоскости пропускания, полностью проходит через поляризатор, а свет, поляризованный в перпендикулярной плоскости, полностью поглощается.
Решение:
После прохождения через поляризатор $П_{1}$ свет будет поляризоваться линейно и его интенсивность $I_{1}$ будет равна $\frac{1}{2} I_{0}$.
Пусть плоскость поляризации поляризатора $П_{2}$ составляет угол $\beta$ с плоскостью поляризации $П_{1}$. Пройдя через $П_{2}$, свет будет иметь интенсивность /2 = Л cos2 р,
$I_{2} = I_{1} \cos^{2} \beta$,
а после прохождения света через поляризатор $П_{3}$ его интенсивность
$I_{3} = I_{2} \cos^{2} (90^{ \circ} - \beta) = I_{2} \sin^{2} \beta$.
После отражения от зеркала свет вновь попадает на поляризатор $П_{3}$, поскольку он поляризован в плоскости поляризации этого поляризатора, но после вторичного прохождения через $П_{3}$ интенсивность света не изменится. После второго прохождения через $П_{2}$ интенсивность света
$I_{4} = I_{3} \cos^{2} (90^{ \circ} - \beta) = I_{3} \sin^{2} \beta$
и после второго прохождения через $П_{1}$ интенсивность света оказывается равной
$I_{5} = I_{4} \cos^{2} \beta$. Наконец, $I_{5} = \frac{1}{32} I_{0} \sin^{4} 2 \beta$.
Искомая интенсивность $I$ равна максимальному значению $I_{5}$ и, очевидно, равна $1/32 I_{0}$. Это значение достигается тогда, когда плоскость пропускания поляризатора $П_{2}$ составляет угол $45^{ \circ}$ с плоскостью пропускания поляризатора $П_{1}$ и $П_{3}$ (при этом $\sin 2 \beta = \pm 1$).
Перейдем теперь ко второй части задачи. Поместим между $П_{1}$ и $П_{3}$ систему поляризаторов $П_{1}^{ \prime}, \cdots, П_{n - 1}^{ \prime} (n > 1)$. Пусть плоскости пропускания каждого из поляризаторов системы
$П_{1}, П_{1}^{ \prime}, П_{2}^{ \prime}, \cdots, П_{n-1}^{ \prime}, П_{3}$
сдвинуты на угол $\beta = \frac{1}{2} \frac{ \pi}{n}$.
Конечная интенсивность пучка света будет теперь равна
$I_{к} = \frac{1}{2} \cos^{4n} \left ( \frac{ \pi / 2}{n} \right ) I_{0}$.
При $n \rightarrow \infty$ это значение стремится к $\frac{1}{2} I_{0} > I = \frac{I_{0} }{32}$. Поскольку после прохождения света через первый поляризатор его интенсивность падает до $I_{0}/2$, наибольшее значение интенсивности пучка света, прошедшего через систему поляризаторов, составляет $I_{0}/2$. Для полноты решения приведем доказательство того, что $lim_{ n \rightarrow \infty} \cos^{4n}( \pi /2n) = 1$. Прежде всего отметим, что
$1 \geq \cos \alpha \geq 1 - \frac{ \alpha^{2} }{2}$.
Согласно неравенству Бернулли, $(1 - x)^{n} \geq 1 - nx$. Поэтому
$1 \geq \left ( \cos \frac{ \pi}{2n} \right )^{4n} \geq \left ( 1 - \frac{ \pi^{2} }{8n^{2} } \right )^{4n} \geq \left ( 1 - \frac{ \pi^{2} }{2 \pi } \right ) \rightarrow_{n \rightarrow \infty} 1$,
т.е. $lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \cos \frac{ \pi}{2n} \right )^{4n} = 1$.
Следовательно,
$lim_{ n \rightarrow \infty} I_{n} = \frac{1}{2} I_{0} lim \left ( \cos \frac{ \pi}{2n} \right )^{4n} = \frac{1}{2} I_{0}$.
