Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9985
2018-11-09 
Согласно модели атома Бора, момент импульса частицы относительно неподвижного центра в поле центральной силы притяжения может принимать только значения, кратные $\hbar ( \hbar = h/2 \pi)$, где $h$ — постоянная Планка). Определить допустимые значения энергии частицы массой $m$, обращающейся вокруг центра притяжения по круговой орбите. Сила притяжения частицы к центру равна
$\vec{F} = - k \vec{r}$,
где $k > 0$ — некоторый размерный коэффициент, а $\vec{r}$ - радиус-вектор частицы.
Рассматриваемая система называется трехмерным гармоническим осциллятором. Выразить разрешенные значения величины энергии через частоту этого осциллятора $\omega ( \omega = 2 \pi /T$, где $T$ - период).
Решение:
Чтобы установить взаимосвязь между полной энергией осциллятора и его моментом импульса, прежде всего определим потенциальную энергию рассматриваемого осциллятора.
Разность потенциальных энергий в точках А и В $V(B) - V(A)$ равна работе, которую нужно совершить против сил, действующих на материальную точку при перемещении ее из точки А в точку В. При перемещении материальной точки по дуге окружности, центр которой совпадает с центром силового поля, сила не совершает работы, поскольку она все время остается перпендикулярной к перемещению. Значит, потенциал точек, равноотстоящих от центра, одинаков, т. е. искомый потенциал должен зависеть только от расстояния $r$ до центра силового поля. Для определения разности потенциалов между двумя точками, отстоящими от центра на расстояния $r$ и $r_{0}$, нужно определить работу, совершаемую при перемещении материальной точки вдоль радиуса. Но эта ситуация аналогична той, что имеет место в случае одномерного осциллятора типа грузика, подвешенного на пружине (под $r$ здесь можно понимать расстояние от положения равновесия). Следовательно, можем записать
$V(r) - V(r_{0} ) = \frac{k}{2} (r^{2} - r_{0}^{2} )$.
Принимая, что потенциальная энергия осциллятора при $r_{0} = 0$ равна нулю, имеем
$V(r) = \frac{1}{2} kr^{2}$.
Теперь определим кинетическую энергию. Из второго закона Ньютона для движения по окружности имеем
$\frac{mv^{2} }{r} = kr$. Тогда $E_{к} = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{1}{2} kr^{2}$.
Полная энергия осциллятора равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
$E = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2}kr^{2} = kr^{2}$.
Момент импульса рассматриваемой системы равен
$I = mvr = mr^{2} \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Тогда
$\frac{E}{l} = \frac{k}{m} \sqrt{ \frac{m}{k} }$ и $E = \sqrt{ \frac{k}{m} }I$.
Учитывая постулат Бора, получаем
$E = m \hbar \omega$,
где $\omega = \sqrt{k/m}$ - частота осциллятора.
Интерпретация $\omega$ как частоты колебаний осциллятора имеет общий характер, не связанный с частным случаем движения по круговой орбите. В этом легко убедиться, записав уравнения Ньютона для движения по трем координатным осям:
$ma_{x} = - kx, ma_{y} = - ky, ma_{z} = - kz$.
Эти три независимых уравнения описывают одномерные гармонические колебания с той же частотой $\omega = \sqrt{k/m}$. Функции $x(t), y(t)$ и $z(t)$ изменяются с той же частотой $\omega$, следовательно, 0 является частотой колебания осциллятора в общем случае, а не только в случае круговых орбит.
Выражение $E = n \hbar \omega = nh \nu$ для энергии колебаний гармонического осциллятора было предложено Максом Планком (примерно на 10 лет ранее появления квантового постулата Бора) для описания излучения абсолютно черного тела. Нужно отметить, что к таким объектам, как атомы и молекулы, не всегда применимы законы и понятия классической механики, даже дополненные определенными понятиями и постулатами квантовой механики типа постулата Бора. Даже такое понятие, как траектория, в микромире утрачивает смысл. То, что постулат Бора позволил получить некоторые выводы, согласующиеся с опытом, до некоторой степени оказалось счастливой случайностью. Дело в том, что, в частности, для атома водорода и для гармонического осциллятора точная теория дает почти тот же результат, что и модель Бора. Однако в более сложных случаях модель Бора оказывается неприменимой.
Согласно модели атома Бора, момент импульса частицы относительно неподвижного центра в поле центральной силы притяжения может принимать только значения, кратные $\hbar ( \hbar = h/2 \pi)$, где $h$ — постоянная Планка). Определить допустимые значения энергии частицы массой $m$, обращающейся вокруг центра притяжения по круговой орбите. Сила притяжения частицы к центру равна
$\vec{F} = - k \vec{r}$,
где $k > 0$ — некоторый размерный коэффициент, а $\vec{r}$ - радиус-вектор частицы.
Рассматриваемая система называется трехмерным гармоническим осциллятором. Выразить разрешенные значения величины энергии через частоту этого осциллятора $\omega ( \omega = 2 \pi /T$, где $T$ - период).
Решение:
Чтобы установить взаимосвязь между полной энергией осциллятора и его моментом импульса, прежде всего определим потенциальную энергию рассматриваемого осциллятора.
Разность потенциальных энергий в точках А и В $V(B) - V(A)$ равна работе, которую нужно совершить против сил, действующих на материальную точку при перемещении ее из точки А в точку В. При перемещении материальной точки по дуге окружности, центр которой совпадает с центром силового поля, сила не совершает работы, поскольку она все время остается перпендикулярной к перемещению. Значит, потенциал точек, равноотстоящих от центра, одинаков, т. е. искомый потенциал должен зависеть только от расстояния $r$ до центра силового поля. Для определения разности потенциалов между двумя точками, отстоящими от центра на расстояния $r$ и $r_{0}$, нужно определить работу, совершаемую при перемещении материальной точки вдоль радиуса. Но эта ситуация аналогична той, что имеет место в случае одномерного осциллятора типа грузика, подвешенного на пружине (под $r$ здесь можно понимать расстояние от положения равновесия). Следовательно, можем записать
$V(r) - V(r_{0} ) = \frac{k}{2} (r^{2} - r_{0}^{2} )$.
Принимая, что потенциальная энергия осциллятора при $r_{0} = 0$ равна нулю, имеем
$V(r) = \frac{1}{2} kr^{2}$.
Теперь определим кинетическую энергию. Из второго закона Ньютона для движения по окружности имеем
$\frac{mv^{2} }{r} = kr$. Тогда $E_{к} = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{1}{2} kr^{2}$.
Полная энергия осциллятора равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
$E = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2}kr^{2} = kr^{2}$.
Момент импульса рассматриваемой системы равен
$I = mvr = mr^{2} \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Тогда
$\frac{E}{l} = \frac{k}{m} \sqrt{ \frac{m}{k} }$ и $E = \sqrt{ \frac{k}{m} }I$.
Учитывая постулат Бора, получаем
$E = m \hbar \omega$,
где $\omega = \sqrt{k/m}$ - частота осциллятора.
Интерпретация $\omega$ как частоты колебаний осциллятора имеет общий характер, не связанный с частным случаем движения по круговой орбите. В этом легко убедиться, записав уравнения Ньютона для движения по трем координатным осям:
$ma_{x} = - kx, ma_{y} = - ky, ma_{z} = - kz$.
Эти три независимых уравнения описывают одномерные гармонические колебания с той же частотой $\omega = \sqrt{k/m}$. Функции $x(t), y(t)$ и $z(t)$ изменяются с той же частотой $\omega$, следовательно, 0 является частотой колебания осциллятора в общем случае, а не только в случае круговых орбит.
Выражение $E = n \hbar \omega = nh \nu$ для энергии колебаний гармонического осциллятора было предложено Максом Планком (примерно на 10 лет ранее появления квантового постулата Бора) для описания излучения абсолютно черного тела. Нужно отметить, что к таким объектам, как атомы и молекулы, не всегда применимы законы и понятия классической механики, даже дополненные определенными понятиями и постулатами квантовой механики типа постулата Бора. Даже такое понятие, как траектория, в микромире утрачивает смысл. То, что постулат Бора позволил получить некоторые выводы, согласующиеся с опытом, до некоторой степени оказалось счастливой случайностью. Дело в том, что, в частности, для атома водорода и для гармонического осциллятора точная теория дает почти тот же результат, что и модель Бора. Однако в более сложных случаях модель Бора оказывается неприменимой.
