Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9984
2018-11-09 
Железная дорога проходит между двумя большими скалами с параллельными отвесными стенами, находящимися на некотором расстоянии друг от друга. На некотором участке дорога перпендикулярна к стенам скал. Равномерно двигаясь по этому участку со скоростью $v$, локомотив свистит с частотой $f$. Скорость звука равна $V$. Сколько (и какие) частот имеет эхо, доносящееся до машиниста?
Решение:
Прежде всего определим (на основании эффекта Доплера), какие частоты принимали бы неподвижные наблюдатели, находящиеся у каждой из скал, на протяжении участка дороги, по которой движется локомотив. Воспользовавшись формулой для частоты, принимаемой неподвижным наблюдателем, получим, что наблюдатель, находящийся перед локомотивом, будет принимать частоту
$f_{1} = \frac{f}{1 - \frac{v}{V} }$,
а наблюдатель, находящийся позади локомотива, - частоту
$f_{2} = \frac{f}{1 + \frac{v}{V} }$.
Спустя некоторое время звук с частотой $f_{1}$ отразится от стены перед локомотивом, дойдет до стены за локомотивом и отразится от нее. Звук с частотой $f_{2}$ отразится от стены за локомотивом, дойдет до стены перед локомотивом, отразится и т. д.
Следовательно, каждая из стен «излучает» звук двух частот: $f_{1}$ и $f_{2}$. Дальнейшее отражение звука между скалами не приводит к появлению новых частот, поскольку скалы неподвижны одна относительно другой. Таким образом, машинист будет воспринимать звуки следующих частот:
а) для звука, приходящего от стены перед локомотивом,
$f_{I} = \left ( 1 + \frac{v}{V} \right ) f_{1} = \frac{V + v}{V - v}f, f_{II} = \left (1 + \frac{v}{V} \right ) f_{2} = f$;
б) для звука, приходящего от стены за локомотивом,
$f_{III} = \left ( 1 - \frac{v}{V} \right ) f_{2} = \frac{V - v}{V + v} f, f_{IV} = \left ( 1 - \frac{v}{V} \right ) f_{1} = f$.
Как видим, машинист будет слышать три зха с частотами
$\frac{V - v}{V + v}f, f, \frac{V + v}{V- v}f$.
Эту задачу можно решить и другим способом. Отметим, что частота отраженного звука не зависит от того, с какой стороны (с правой или левой) приближается локомотив (рис.). Частота звука, издаваемого локомотивом Л и принимаемого наблюдателем Н после отражения звука от стены, будет такой же, что и частота, которую наблюдатель принимал бы в случае, если бы звук шел непосредственно от источника, находящегося «за стеной» и движущегося с той же скоростью, что и локомотив. Следовательно, систему «действительный источник Л + отражающая стена» можно заменить мнимым источником $Л^{ \prime}$, являющимся зеркальным отражением источника Л относительно плоскости 5. Теперь можно говорить не об отраженном звуке, а о звуке, приходящем к наблюдателю от мнимого источника $Л^{ \prime}$.
В нашем случае, иллюстрируемом рис., мы имеем две отражающие стены $S_{1}$ и $S_{2}$. Пусть локомотив вместе с наблюдателем (машинистом) движется влево со скоростью $v$. Тогда получаем
$Л_{1}$ - зеркальное отражение Л относительно $S_{1}$, движущееся вправо со скоростью $v$;
$Л_{2}$ - зеркальное отражение Л относительно $S_{2}$, движущееся также вправо со скоростью $v$;
$Л_{3}$ - зеркальное отражение мнимого источника $Л_{2}$ относительно $S_{1}$, движущееся влево со скоростью $v$;
$Л_{4}$ - зеркальное отражение мнимого источника $Л_{1}$ относительно $S_{2}$, движущееся влево со скоростью $v$;
$Л_{5}$ - зеркальное отражение мнимого источника $Л_{4}$ относительно плоскости $S_{2}$, движущееся вправо со скоростью $v$ и т. д.
Получаем бесконечно много изображений источника Л. Все эти изображения движутся с одинаковой скоростью, причем часть из них движется вправо, а часть — влево, кроме того, источники, имеющие одинаковые направления скоростей, располагаются как справа, так и слева относительно наблюдателя Н, движущегося вместе с источником Л.
Отметим, что на самом деле здесь следует различать только три случая:
а) наблюдатель Н и мнимый источник $Л_{i}$ движутся в одну и ту же сторону, т. е. они покоятся друг относительно друга;
б) наблюдатель Н и мнимый источник $Л_{i}$ приближаются друг к другу, обладая скоростью $v$ относительно неподвижных стен;
в) наблюдатель Н и мнимый источник $Л_{i}$ удаляются друг от друга, имея скорость $v$ относительно стен.
Других вариантов нет. Очевидно, для каждого из источников $Л_{i}$ осуществляется одно из названных движений, причем для каждого из этих трех вариантов можно подобрать бесчисленное множество мнимых источников, реализующих такое движение. Каждому из перечисленных вариантов соответствует одна частота звука, принимаемого наблюдателем Н.
В случае (а), когда источник и наблюдатель покоятся относительно друг друга, наблюдатель принимает частоту $f_{a} = f$. Частоты, принимаемые наблюдателем в случаях (б) и (в), определим, используя выражения для частоты, принимаемой подвижным наблюдателем от подвижного источника:
$f_{б} = \frac{V + v}{V - v}f, f_{в} = \frac{V - v}{V + v} f$.
Приведенный здесь способ решения носит название метода изображений.
Выше отмечалось, что с точки зрения наблюдателя отраженный звук имеет такую же частоту, что и звук, приходящий непосредственно от некоего фиктивного источника-изображения. Оказывается, что это относится также к амплитуде отраженного звука и его фазе: амплитуда и фаза отраженной волны в произвольной точке такие же, как амплитуда и фаза звуковой волны, приходящей к этой точке от некоторого мнимого источника, являющегося зеркальным отражением действительного источника. Способы построения источника-изображения (его положение, амплитуда, фазовый сдвиг относительно действительного источника) для различных отражающих поверхностей могут быть достаточно сложными. Тем не менее метод изображений иногда значительно упрощает решение. Метод изображений широко применяется и в электростатике (рис.).
Железная дорога проходит между двумя большими скалами с параллельными отвесными стенами, находящимися на некотором расстоянии друг от друга. На некотором участке дорога перпендикулярна к стенам скал. Равномерно двигаясь по этому участку со скоростью $v$, локомотив свистит с частотой $f$. Скорость звука равна $V$. Сколько (и какие) частот имеет эхо, доносящееся до машиниста?
Решение:
Прежде всего определим (на основании эффекта Доплера), какие частоты принимали бы неподвижные наблюдатели, находящиеся у каждой из скал, на протяжении участка дороги, по которой движется локомотив. Воспользовавшись формулой для частоты, принимаемой неподвижным наблюдателем, получим, что наблюдатель, находящийся перед локомотивом, будет принимать частоту
$f_{1} = \frac{f}{1 - \frac{v}{V} }$,
а наблюдатель, находящийся позади локомотива, - частоту
$f_{2} = \frac{f}{1 + \frac{v}{V} }$.
Спустя некоторое время звук с частотой $f_{1}$ отразится от стены перед локомотивом, дойдет до стены за локомотивом и отразится от нее. Звук с частотой $f_{2}$ отразится от стены за локомотивом, дойдет до стены перед локомотивом, отразится и т. д.
Следовательно, каждая из стен «излучает» звук двух частот: $f_{1}$ и $f_{2}$. Дальнейшее отражение звука между скалами не приводит к появлению новых частот, поскольку скалы неподвижны одна относительно другой. Таким образом, машинист будет воспринимать звуки следующих частот:
а) для звука, приходящего от стены перед локомотивом,
$f_{I} = \left ( 1 + \frac{v}{V} \right ) f_{1} = \frac{V + v}{V - v}f, f_{II} = \left (1 + \frac{v}{V} \right ) f_{2} = f$;
б) для звука, приходящего от стены за локомотивом,
$f_{III} = \left ( 1 - \frac{v}{V} \right ) f_{2} = \frac{V - v}{V + v} f, f_{IV} = \left ( 1 - \frac{v}{V} \right ) f_{1} = f$.
Как видим, машинист будет слышать три зха с частотами
$\frac{V - v}{V + v}f, f, \frac{V + v}{V- v}f$.
Эту задачу можно решить и другим способом. Отметим, что частота отраженного звука не зависит от того, с какой стороны (с правой или левой) приближается локомотив (рис.). Частота звука, издаваемого локомотивом Л и принимаемого наблюдателем Н после отражения звука от стены, будет такой же, что и частота, которую наблюдатель принимал бы в случае, если бы звук шел непосредственно от источника, находящегося «за стеной» и движущегося с той же скоростью, что и локомотив. Следовательно, систему «действительный источник Л + отражающая стена» можно заменить мнимым источником $Л^{ \prime}$, являющимся зеркальным отражением источника Л относительно плоскости 5. Теперь можно говорить не об отраженном звуке, а о звуке, приходящем к наблюдателю от мнимого источника $Л^{ \prime}$.
В нашем случае, иллюстрируемом рис., мы имеем две отражающие стены $S_{1}$ и $S_{2}$. Пусть локомотив вместе с наблюдателем (машинистом) движется влево со скоростью $v$. Тогда получаем
$Л_{1}$ - зеркальное отражение Л относительно $S_{1}$, движущееся вправо со скоростью $v$;
$Л_{2}$ - зеркальное отражение Л относительно $S_{2}$, движущееся также вправо со скоростью $v$;
$Л_{3}$ - зеркальное отражение мнимого источника $Л_{2}$ относительно $S_{1}$, движущееся влево со скоростью $v$;
$Л_{4}$ - зеркальное отражение мнимого источника $Л_{1}$ относительно $S_{2}$, движущееся влево со скоростью $v$;
$Л_{5}$ - зеркальное отражение мнимого источника $Л_{4}$ относительно плоскости $S_{2}$, движущееся вправо со скоростью $v$ и т. д.
Получаем бесконечно много изображений источника Л. Все эти изображения движутся с одинаковой скоростью, причем часть из них движется вправо, а часть — влево, кроме того, источники, имеющие одинаковые направления скоростей, располагаются как справа, так и слева относительно наблюдателя Н, движущегося вместе с источником Л.
Отметим, что на самом деле здесь следует различать только три случая:
а) наблюдатель Н и мнимый источник $Л_{i}$ движутся в одну и ту же сторону, т. е. они покоятся друг относительно друга;
б) наблюдатель Н и мнимый источник $Л_{i}$ приближаются друг к другу, обладая скоростью $v$ относительно неподвижных стен;
в) наблюдатель Н и мнимый источник $Л_{i}$ удаляются друг от друга, имея скорость $v$ относительно стен.
Других вариантов нет. Очевидно, для каждого из источников $Л_{i}$ осуществляется одно из названных движений, причем для каждого из этих трех вариантов можно подобрать бесчисленное множество мнимых источников, реализующих такое движение. Каждому из перечисленных вариантов соответствует одна частота звука, принимаемого наблюдателем Н.
В случае (а), когда источник и наблюдатель покоятся относительно друг друга, наблюдатель принимает частоту $f_{a} = f$. Частоты, принимаемые наблюдателем в случаях (б) и (в), определим, используя выражения для частоты, принимаемой подвижным наблюдателем от подвижного источника:
$f_{б} = \frac{V + v}{V - v}f, f_{в} = \frac{V - v}{V + v} f$.
Приведенный здесь способ решения носит название метода изображений.
Выше отмечалось, что с точки зрения наблюдателя отраженный звук имеет такую же частоту, что и звук, приходящий непосредственно от некоего фиктивного источника-изображения. Оказывается, что это относится также к амплитуде отраженного звука и его фазе: амплитуда и фаза отраженной волны в произвольной точке такие же, как амплитуда и фаза звуковой волны, приходящей к этой точке от некоторого мнимого источника, являющегося зеркальным отражением действительного источника. Способы построения источника-изображения (его положение, амплитуда, фазовый сдвиг относительно действительного источника) для различных отражающих поверхностей могут быть достаточно сложными. Тем не менее метод изображений иногда значительно упрощает решение. Метод изображений широко применяется и в электростатике (рис.).
