Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9981
2018-11-09 
а. Определить момент инерции тонкой однородной квадратной пластины со стороной $a$ и массой $M$ относительно оси $c$ (рис.), проходящей через центр квадрата О и составляющей угол $\alpha$ с осью х. Ось $c$ лежит в плоскости пластины.
б. Утверждается: «Если моменты инерции тела относительно некоторых трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через точку О этого тела, одинаковы, то момент инерции этого тела относительно любой оси, проходящей чер.ез точку О, всегда равен одной и той же величине». Докажите либо опровергните это утверждение.
Решение:
а) Момент инерции пластины $I$ зависит от ее массы $M$, стороны $a$ и безразмерных констант. Из анализа размерности получаем выражение для момента инерции
$I = AMa^{2}$,
где $A$ - числовая константа, $I$ - сумма моментов инерции четырех пластин, обозначенных на рис. и вычисленных относительно оси $c$. Используя теорему Штейнера, из соображений подобия можем записать
$AMa^{2} = 4A \frac{M}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + 2 \frac{M}{4} d^{2} + 2 \frac{M}{4} D^{2}$,
или
$\frac{3}{4} Aa^{2} = \frac{1}{2} (d^{2} + D^{2})$.
Величина $d^{2} + D^{2}$ определяется чисто геометрически. Это можно сделать, например, так: через центры малых квадратов проводим прямые, параллельные оси с, а также обозначенные на рис. прямые, перпендикулярные к оси с. В результате получим прямоугольник со сторонами $2d$ и $2D$, диагональ которого равна $\sqrt{2}a/2$. Значит,
$d^{2} + D^{2} = \frac{a^{2} }{8}$.
Учитывая это, получаем
$\frac{3}{4} Aa^{2} = \frac{1}{16} a^{2}$ и $A = \frac{1}{12}$.
Тогда момент инерции $I = 1/12 Ma^{2}$, т. е. он не зависит от угла $\alpha$.
б) Утверждение, высказанное в условии задачи, неверно, поскольку можно привести опровергающий его пример.
Возьмем, например, восемь материальных точек, которые соединены легкими стержнями в куб, как показано на рис. Моменты инерции относительно каждой из трех осей, проходящих через центры противоположных граней, одинаковы, однако моменты инерции относительно главной диагонали куба, вообще говоря, различны, за исключением случаев, когда величины масс $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ и $m_{4}$ специально подобраны.
а. Определить момент инерции тонкой однородной квадратной пластины со стороной $a$ и массой $M$ относительно оси $c$ (рис.), проходящей через центр квадрата О и составляющей угол $\alpha$ с осью х. Ось $c$ лежит в плоскости пластины.
б. Утверждается: «Если моменты инерции тела относительно некоторых трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через точку О этого тела, одинаковы, то момент инерции этого тела относительно любой оси, проходящей чер.ез точку О, всегда равен одной и той же величине». Докажите либо опровергните это утверждение.
Решение:
а) Момент инерции пластины $I$ зависит от ее массы $M$, стороны $a$ и безразмерных констант. Из анализа размерности получаем выражение для момента инерции
$I = AMa^{2}$,
где $A$ - числовая константа, $I$ - сумма моментов инерции четырех пластин, обозначенных на рис. и вычисленных относительно оси $c$. Используя теорему Штейнера, из соображений подобия можем записать
$AMa^{2} = 4A \frac{M}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + 2 \frac{M}{4} d^{2} + 2 \frac{M}{4} D^{2}$,
или
$\frac{3}{4} Aa^{2} = \frac{1}{2} (d^{2} + D^{2})$.
Величина $d^{2} + D^{2}$ определяется чисто геометрически. Это можно сделать, например, так: через центры малых квадратов проводим прямые, параллельные оси с, а также обозначенные на рис. прямые, перпендикулярные к оси с. В результате получим прямоугольник со сторонами $2d$ и $2D$, диагональ которого равна $\sqrt{2}a/2$. Значит,
$d^{2} + D^{2} = \frac{a^{2} }{8}$.
Учитывая это, получаем
$\frac{3}{4} Aa^{2} = \frac{1}{16} a^{2}$ и $A = \frac{1}{12}$.
Тогда момент инерции $I = 1/12 Ma^{2}$, т. е. он не зависит от угла $\alpha$.
б) Утверждение, высказанное в условии задачи, неверно, поскольку можно привести опровергающий его пример.
Возьмем, например, восемь материальных точек, которые соединены легкими стержнями в куб, как показано на рис. Моменты инерции относительно каждой из трех осей, проходящих через центры противоположных граней, одинаковы, однако моменты инерции относительно главной диагонали куба, вообще говоря, различны, за исключением случаев, когда величины масс $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ и $m_{4}$ специально подобраны.
