2016-09-17
На горизонтальном столе лежит однородное кольцо массой $M$ с насаженной на него маленькой бусинкой массой $m$. В начальный момент времени бусинка имеет скорость $v$, а кольцо покоится. Определите минимальное значение кинетической энергии бусинки в процессе дальнейшего движения. Трения нет.
Решение:
Поскольку в начальный момент времени кольцо покоится, то начальная скорость бусинки направлена по касательной к кольцу. Направим ось $X$ системы координат лабораторной системы отсчёта $S$ вдоль скорости бусинки $v$, а ось $Y$ этой системы координат проведём через бусинку и центр кольца. Перейдём в системуотсчёта $S^{ \prime}$, связанную с центром масс кольца и бусинки и договоримся, что оси $X^{ \prime}Y^{ \prime}$ сонаправлены с осями $XY$. Эта система отсчёта движется относительно системы $S$ со скоростью $u = \frac{mv}{m +M}$. В системе отсчета, связанной с центром масс, бусинка и центр кольца совершают равномерное вращение по окружностям, центры которых совпадают с центром масс. При этом в начальный момент времени проекции скорости бусинки на оси $X^{ \prime}$ и $Y^{ \prime}$ равны соответственно
$v_{X^{ \prime}} (0) = v - u = v - \frac{mv}{m + M} = \frac{Mv}{m+M}$ и $v_{Y^{ \prime}} (0) = 0$.
Значит, проекции скорости бусинки на оси $X^{ \prime}$ и $Y^{ \prime}$ зависят от времени $t$ следующим образом:
$v_{X^{ \prime}} = \frac{Mv}{m + M} \cos \omega t, v_{Y^{ \prime}} = \frac{Mv}{m + M} \sin \omega t$,
где $\omega$ — некоторая частота.
Возвращаясь в систему отсчёта $S$, получим проекции скорости бусинки на оси $X$ и $Y$:
$v_{X} = \frac{Mv}{m + M} \cos \omega t + \frac{Mv}{m + M}, v_{Y} = \frac{Mv}{m + M} \sin \omega t$,
Кинетическая энергия бусинки равна
$W = \frac{m}{2} (v_{X}^{2} + v_{Y}^{2}) = \frac{m}{2} \left ( \frac{M^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}} \cos^{2} \omega t + \frac{2mMv^{2}}{(m+M)^{2}} \cos \omega t + \frac{m^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}} + \frac{M^{2}v^{2}}{(m+M)^{2}} \sin^{2} \omega t \right ) = \frac{mv^{2}}{2(m+M)^{2}} (M^{2} + m^{2} + 2mM \cos \omega t )$.
Она становится минимальной в тот момент времени, когда косинус принимает значение —1. Следовательно,
$W_{min} = \frac{mv^{2}}{2} \left ( \frac{M-m}{M+m} \right )^{2}$.