Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9979
2018-11-09 
Определить момент инерции однородной правильной призмы (имеющей в основании равносторонний треугольник со стороной $a$) относительно оси, проходящей через центры оснований. Масса призмы равна $m$.
Указание. При решении следует воспользоваться теоремой Штейнера.
Решение:
Момент инерции $I$ призмы, согласно проведенным в задаче 9978 рассуждениям, должен быть равен
$I = \alpha ma^{2}$,
где $\alpha$ - числовая константа. Воспользовавшись рисунком и теоремой Штейнера, можно записать
$I = 4I^{ \prime} + 3 \frac{m}{4} \left ( \frac{1}{3}h \right )^{2}$,
но
$I^{ \prime} = \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}$, а $h = \frac{1}{2} a \sqrt{3}$.
Тогда получаем
$\alpha ma^{2} = 4 \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + 3 \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2 \sqrt{3} } \right )^{2}$,
откуда $\alpha = 1/12$. Следовательно,
$I = \frac{1}{12} ma^{2}$.
Определить момент инерции однородной правильной призмы (имеющей в основании равносторонний треугольник со стороной $a$) относительно оси, проходящей через центры оснований. Масса призмы равна $m$.
Указание. При решении следует воспользоваться теоремой Штейнера.
Решение:
Момент инерции $I$ призмы, согласно проведенным в задаче 9978 рассуждениям, должен быть равен
$I = \alpha ma^{2}$,
где $\alpha$ - числовая константа. Воспользовавшись рисунком и теоремой Штейнера, можно записать
$I = 4I^{ \prime} + 3 \frac{m}{4} \left ( \frac{1}{3}h \right )^{2}$,
но
$I^{ \prime} = \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}$, а $h = \frac{1}{2} a \sqrt{3}$.
Тогда получаем
$\alpha ma^{2} = 4 \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + 3 \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2 \sqrt{3} } \right )^{2}$,
откуда $\alpha = 1/12$. Следовательно,
$I = \frac{1}{12} ma^{2}$.
