Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9978
2018-11-09 
На краю диска радиусом $R = 9 см$, вращающегося без трения, сидят $n = 10$ майских жуков, каждый массой $m = 5 г$. Диск вращается с угловой скоростью $\omega_{1} = 30 об/мин$. В некоторый момент времени жуки одновременно и с одинаковыми скоростями начинают ползти к центру диска. Какую работу $W$ совершил каждый из жуков, если известно, что после их остановки скорость вращения диска оказалась равной $\omega_{2} = 45 об/мин$? Момент инерции диска равен $I = 405 г \cdot см^{2}$.
Решение:
На систему диск + майский жук относительно оси ее вращения не действуют никакие моменты внешних сил, поскольку это изолированная система. Следовательно, можем воспользоваться законом сохранения момента импульса относительно центра диска. Обозначим конечное расстояние от майского жука до центра диска через $r$. Начальный момент инерции системы относительно центра диска равен $nmR^{2} + I$, а конечный $nmr^{2} + I$.
Из закона сохранения момента импульса имеем
$(nmR^{2} + I) \omega_{1} = (nmr^{2} + I) \omega_{2}$.
Работа, совершенная всеми майскими жуками вместе, равна разности между конечным и начальным значениями кинетической энергии:
$nW = \frac{(nmr^{2} + I ) \omega_{2}^{2} }{2} - \frac{(nmR^{2} + I ) \omega_{1}^{2} }{2}$.
Используя предыдущее равенство, можно записать
$nW = \frac{1}{2} ( nmR^{2} + I) \frac{ \omega_{1} }{ \omega_{2} } \omega_{2}^{2} - \frac{1}{2} (nmR^{2} + I) \omega_{1}^{2} = \frac{1}{2} (nmR^{2} + I ) \omega_{1} ( \omega_{2} - \omega_{1} )$.
Значит,
$W = \frac{1}{2} \left ( mR^{2} + \frac{I}{n} \right ) \omega_{1} ( \omega_{2} - \omega_{1} )$.
Подставляя численные значения, получаем $W \approx 1,1 \cdot 10^{-4} Дж$.
На краю диска радиусом $R = 9 см$, вращающегося без трения, сидят $n = 10$ майских жуков, каждый массой $m = 5 г$. Диск вращается с угловой скоростью $\omega_{1} = 30 об/мин$. В некоторый момент времени жуки одновременно и с одинаковыми скоростями начинают ползти к центру диска. Какую работу $W$ совершил каждый из жуков, если известно, что после их остановки скорость вращения диска оказалась равной $\omega_{2} = 45 об/мин$? Момент инерции диска равен $I = 405 г \cdot см^{2}$.
Решение:
На систему диск + майский жук относительно оси ее вращения не действуют никакие моменты внешних сил, поскольку это изолированная система. Следовательно, можем воспользоваться законом сохранения момента импульса относительно центра диска. Обозначим конечное расстояние от майского жука до центра диска через $r$. Начальный момент инерции системы относительно центра диска равен $nmR^{2} + I$, а конечный $nmr^{2} + I$.
Из закона сохранения момента импульса имеем
$(nmR^{2} + I) \omega_{1} = (nmr^{2} + I) \omega_{2}$.
Работа, совершенная всеми майскими жуками вместе, равна разности между конечным и начальным значениями кинетической энергии:
$nW = \frac{(nmr^{2} + I ) \omega_{2}^{2} }{2} - \frac{(nmR^{2} + I ) \omega_{1}^{2} }{2}$.
Используя предыдущее равенство, можно записать
$nW = \frac{1}{2} ( nmR^{2} + I) \frac{ \omega_{1} }{ \omega_{2} } \omega_{2}^{2} - \frac{1}{2} (nmR^{2} + I) \omega_{1}^{2} = \frac{1}{2} (nmR^{2} + I ) \omega_{1} ( \omega_{2} - \omega_{1} )$.
Значит,
$W = \frac{1}{2} \left ( mR^{2} + \frac{I}{n} \right ) \omega_{1} ( \omega_{2} - \omega_{1} )$.
Подставляя численные значения, получаем $W \approx 1,1 \cdot 10^{-4} Дж$.
