Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9977
2018-11-09 
На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит куб, опираясь на плоскость одним из ребер. Угол между гранью куба и горизонтальной плоскостью составляет $45^{ \circ}$. Такое положение куба явно неустойчиво, и от самого слабого толчка куб переворачивается. Найти угловую скорость куба в момент» когда его боковая грань ударяется о горизонтальную плоскость. Ребро куба равно $a$, масса - $m$.
Решение:
На куб действуют следующие внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры, обе направленные по вертикали. В горизонтальном направлении па куб не действуют никакие силы, а значит, горизонтальная составляющая импульса центра куба должна быть постоянной во времени. Поскольку эта составляющая в начальный момент была равна нулю, она остается равной нулю все время. Это означает, что центр куба будет перемещаться только в вертикальном направлении. Искомую угловую скорость $\omega$ определим из условия
$\frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2} I \omega (конечная, кинетическая \quad энергия \quad (начальная\quad была\quad равна \quadнулю)) = mg \frac{a}{2} ( \sqrt{2} - 1) (разность \quad начальной \quad и конечной \quad потенциальной \quad энергии) $, (1)
где $v$ - скорость центра масс куба, $I$ - момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, $\omega$ - угловая скорость к>ба относительно той же оси в конечный момент.
Чтобы определить угловую скорость $\omega$, следует сначала установить зависимость между $v$ и $\omega$ в конечный момент и найти соответствующее выражение для $I$.
Линейная скорость ребра, скользящего по горизонтальной поверхности, в системе отсчета, которая движется вертикально вместе с центром куба, равна произведению $\omega$ на половину диагонали квадрата, являющегося боковой гранью куба:
$v_{1} = \omega \frac{1}{2} a \sqrt{2}$.
В конечный момент скорость $v_{1}$ направлена под углом $45^{ \circ}$ к горизонтали. Вертикальная составляющая $v^{ \prime}$ скорости $v$ равна при этом
$v^{ \prime} = \frac{1}{2} \sqrt{2} v_{1} = \frac{1}{2} \omega a$.
Очевидно, такое же значение имеет скорость $v$:
$v = \frac{1}{2} \omega a$.
Определим теперь момент инерции $I$. Ясно, что момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, равен по величине моменту инерции тонкой квадратной пластины (масса которой равна массе куба и сторона равна ребру куба) относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через ее середину.
Мысленно поделим пластину на очень малые элементы массой $m_{i}$. Согласно рис., имеем
$I = \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} ) = \sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} + \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$.
Из соображений симметрии
$\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$. Значит, $I = 2 \sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$.
Отметим, что $\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$ означает момент инерции пластины относительно оси, совпадающей с осью у. Этот момент, очевидно, равен моменту инерции стержня (масса которого равна массе пластины, а длина равна ее стороне) относительно оси, проходящей через центр стержня и перпендикулярной к нему. Момент инерции стержня равен $ma^{2}/12$, поэтому
$I = 2 \frac{1}{12} ma^{2} = \frac{1}{6} ma^{2}$,
Это равенство можно получить также на основании теоремы Штейнера и анализа размерностей. Момент инерции тела равен
$I = \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2}$.
Если массу каждого элемента увеличим в $k$ раз, то момент увеличится в $k$ раз. Следовательно, можно записать $I \sim m$.
Аналогично если размер каждого элемента $r_{i}$ увеличить в $l$ раз, то момент инерции $I$ возрастет в $l^{2}$ раз, а все линейные размеры пластины увеличатся пропорционально $l$. Значит, $I \sim a^{2}$.
Обобщая эти две зависимости, получим
$I \sim \alpha ma^{2}$. (2)
Величина $ma^{2}$ имеет размерность момента инерции, поэтому коэффициент пропорциональности $\alpha$ должен быть безразмерным, ибо единственными параметрами, характеризующими механические свойства пластины, являются $m$ и $a$.
Поделим теперь пластину на четыре части, как показано на рис. Момент инерции каждой из четырех частей относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости рисунка, обозначим через $I_{1}$. Тогда
$I = 4I_{1}$, но по теореме Штейнера $I_{1} = I^{ \prime} + \frac{m}{4} d^{2}$,
где $I^{ \prime}$ - момент инерции каждой из четырех частей относительно собственного центра. Согласно уравнению (2),
$I^{ \prime} = \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}$,
откуда
$\alpha ma^{2} = 4 \left [ \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + \frac{m}{4} \left ( \frac{ \sqrt{2} }{4} \right )^{2} a^{2} \right ]$.
Тогда $\alpha = 1/6$, а2
$I = \frac{1}{6} ma^{2}$.
Подставляя в уравнение (1) зависимость $v$ от $\omega$, а также полученное выражение для $I$, найдем
$\omega = \sqrt{ \frac{12g}{5a} ( \sqrt{2} - 1 )}$.
На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит куб, опираясь на плоскость одним из ребер. Угол между гранью куба и горизонтальной плоскостью составляет $45^{ \circ}$. Такое положение куба явно неустойчиво, и от самого слабого толчка куб переворачивается. Найти угловую скорость куба в момент» когда его боковая грань ударяется о горизонтальную плоскость. Ребро куба равно $a$, масса - $m$.
Решение:
На куб действуют следующие внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры, обе направленные по вертикали. В горизонтальном направлении па куб не действуют никакие силы, а значит, горизонтальная составляющая импульса центра куба должна быть постоянной во времени. Поскольку эта составляющая в начальный момент была равна нулю, она остается равной нулю все время. Это означает, что центр куба будет перемещаться только в вертикальном направлении. Искомую угловую скорость $\omega$ определим из условия
$\frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2} I \omega (конечная, кинетическая \quad энергия \quad (начальная\quad была\quad равна \quadнулю)) = mg \frac{a}{2} ( \sqrt{2} - 1) (разность \quad начальной \quad и конечной \quad потенциальной \quad энергии) $, (1)
где $v$ - скорость центра масс куба, $I$ - момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, $\omega$ - угловая скорость к>ба относительно той же оси в конечный момент.
Чтобы определить угловую скорость $\omega$, следует сначала установить зависимость между $v$ и $\omega$ в конечный момент и найти соответствующее выражение для $I$.
Линейная скорость ребра, скользящего по горизонтальной поверхности, в системе отсчета, которая движется вертикально вместе с центром куба, равна произведению $\omega$ на половину диагонали квадрата, являющегося боковой гранью куба:
$v_{1} = \omega \frac{1}{2} a \sqrt{2}$.
В конечный момент скорость $v_{1}$ направлена под углом $45^{ \circ}$ к горизонтали. Вертикальная составляющая $v^{ \prime}$ скорости $v$ равна при этом
$v^{ \prime} = \frac{1}{2} \sqrt{2} v_{1} = \frac{1}{2} \omega a$.
Очевидно, такое же значение имеет скорость $v$:
$v = \frac{1}{2} \omega a$.
Определим теперь момент инерции $I$. Ясно, что момент инерции куба относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, равен по величине моменту инерции тонкой квадратной пластины (масса которой равна массе куба и сторона равна ребру куба) относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через ее середину.
Мысленно поделим пластину на очень малые элементы массой $m_{i}$. Согласно рис., имеем
$I = \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} ) = \sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} + \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$.
Из соображений симметрии
$\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i}y_{i}^{2}$. Значит, $I = 2 \sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$.
Отметим, что $\sum_{i} m_{i}x_{i}^{2}$ означает момент инерции пластины относительно оси, совпадающей с осью у. Этот момент, очевидно, равен моменту инерции стержня (масса которого равна массе пластины, а длина равна ее стороне) относительно оси, проходящей через центр стержня и перпендикулярной к нему. Момент инерции стержня равен $ma^{2}/12$, поэтому
$I = 2 \frac{1}{12} ma^{2} = \frac{1}{6} ma^{2}$,
Это равенство можно получить также на основании теоремы Штейнера и анализа размерностей. Момент инерции тела равен
$I = \sum_{i} m_{i}r_{i}^{2}$.
Если массу каждого элемента увеличим в $k$ раз, то момент увеличится в $k$ раз. Следовательно, можно записать $I \sim m$.
Аналогично если размер каждого элемента $r_{i}$ увеличить в $l$ раз, то момент инерции $I$ возрастет в $l^{2}$ раз, а все линейные размеры пластины увеличатся пропорционально $l$. Значит, $I \sim a^{2}$.
Обобщая эти две зависимости, получим
$I \sim \alpha ma^{2}$. (2)
Величина $ma^{2}$ имеет размерность момента инерции, поэтому коэффициент пропорциональности $\alpha$ должен быть безразмерным, ибо единственными параметрами, характеризующими механические свойства пластины, являются $m$ и $a$.
Поделим теперь пластину на четыре части, как показано на рис. Момент инерции каждой из четырех частей относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости рисунка, обозначим через $I_{1}$. Тогда
$I = 4I_{1}$, но по теореме Штейнера $I_{1} = I^{ \prime} + \frac{m}{4} d^{2}$,
где $I^{ \prime}$ - момент инерции каждой из четырех частей относительно собственного центра. Согласно уравнению (2),
$I^{ \prime} = \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2}$,
откуда
$\alpha ma^{2} = 4 \left [ \alpha \frac{m}{4} \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} + \frac{m}{4} \left ( \frac{ \sqrt{2} }{4} \right )^{2} a^{2} \right ]$.
Тогда $\alpha = 1/6$, а2
$I = \frac{1}{6} ma^{2}$.
Подставляя в уравнение (1) зависимость $v$ от $\omega$, а также полученное выражение для $I$, найдем
$\omega = \sqrt{ \frac{12g}{5a} ( \sqrt{2} - 1 )}$.
