Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9976
2018-11-09 
Тонкий, однородный, гибкий, но нерастяжимый трос длиной $l$ и массой $M$ вначале был подвешен за оба конца на близко расположенных друг от друга крюках (рис. а). В какой-то момент один конец троса освободился и начал падать (рис. б). Известно, что наибольшая нагрузка, которую выдерживает каждый из крюков, равна $N$ и превышает веc троса, равный $Mg$. При каком соотношении величин $Mg$ и $N$ верхний конец троса не вырвет крюк?
Предполагается, что при падении каждый элемент троса, достигая своего конечного положения, останавливается и остается неподвижным.
Решение:
В ситуации, показанной на рис., скорость левой части троса равна $\sqrt{2gh}$. Импульс элемента троса АВ длиной $dx$ равен $\frac{M}{l} dx \sqrt{2gh}$. Этот импульс полностью «расходуется» за время, в течение которого верхний конец рассматриваемого элемента троса пройдет расстояние ВС длиной $2dx$. Это время равно $2dx/v = 2dx/ \sqrt{2gh}$. Значит, дополнительная сила, действующая на закрепленный крюк, равна
$\frac{dp}{dt} = \frac{M}{l} dx \sqrt{2gh} \frac{1}{2dx} \sqrt{2gh} = Mg \frac{h}{l}$.
При максимально возможном значении $h$ эта сила равна $Mg$. Сила, действующая на крюк, представляет собой сумму вычисленной выше дополнительной силы и силы тяжести. Максимальное значение этой силы равно $Mg + Mg = 2Mg$. Поэтому, чтобы крюк не вырвало, должно выполняться неравенство
$N \geq 2Mg$.
Эту задачу можно решить и другим способом. Воспользуемся тем, что
$\frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{F}$,
где $\vec{p}$ - полный импульс системы, a $\vec{F}$ - полная сила, действующая на систему или на трос как целое. Импульс троса равен импульсу его левой части, имеющей длину $(l - h)/2$:
$p = \frac{l - h}{2} \frac{M}{l} \sqrt{2gh}$,
но поскольку $h = gt^{2}/2$, следовательно,
$p = \frac{l - gt^{2}/2 }{2} \frac{M}{l} gt$.
Полная сила, действующая на трос, равна результирующей силы тяжести $M \vec{g}$ и силы $\vec{R}$, с которой крюк действует на трос. Отсюда
$\frac{d}{dt} \left [ \frac{l - gt^{2}/2 }{2} \frac{M}{l} gt \right ] = Mg - R$.
Тогда
$\frac{1}{2}Mg - \frac{1}{4} \frac{M}{l} g^{2}3t^{2} = Mg - R$.
Это соотношение справедливо в каждый момент падения троса. Для времени $t$, соответствующего моменту $T = \sqrt{2l/g}$ (нижнее положение троса), имеем
$\frac{1}{2} Mg - \frac{3}{2} \frac{M}{l} gl = Mg - R$, откуда $R = 2Mg$.
Очевидно, это есть наибольшее значение силы $R$ за все время падения троса. Согласно условию задачи, должно выполняться требование
$N \geq 2Mg$.
Тонкий, однородный, гибкий, но нерастяжимый трос длиной $l$ и массой $M$ вначале был подвешен за оба конца на близко расположенных друг от друга крюках (рис. а). В какой-то момент один конец троса освободился и начал падать (рис. б). Известно, что наибольшая нагрузка, которую выдерживает каждый из крюков, равна $N$ и превышает веc троса, равный $Mg$. При каком соотношении величин $Mg$ и $N$ верхний конец троса не вырвет крюк?
Предполагается, что при падении каждый элемент троса, достигая своего конечного положения, останавливается и остается неподвижным.
Решение:
В ситуации, показанной на рис., скорость левой части троса равна $\sqrt{2gh}$. Импульс элемента троса АВ длиной $dx$ равен $\frac{M}{l} dx \sqrt{2gh}$. Этот импульс полностью «расходуется» за время, в течение которого верхний конец рассматриваемого элемента троса пройдет расстояние ВС длиной $2dx$. Это время равно $2dx/v = 2dx/ \sqrt{2gh}$. Значит, дополнительная сила, действующая на закрепленный крюк, равна
$\frac{dp}{dt} = \frac{M}{l} dx \sqrt{2gh} \frac{1}{2dx} \sqrt{2gh} = Mg \frac{h}{l}$.
При максимально возможном значении $h$ эта сила равна $Mg$. Сила, действующая на крюк, представляет собой сумму вычисленной выше дополнительной силы и силы тяжести. Максимальное значение этой силы равно $Mg + Mg = 2Mg$. Поэтому, чтобы крюк не вырвало, должно выполняться неравенство
$N \geq 2Mg$.
Эту задачу можно решить и другим способом. Воспользуемся тем, что
$\frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{F}$,
где $\vec{p}$ - полный импульс системы, a $\vec{F}$ - полная сила, действующая на систему или на трос как целое. Импульс троса равен импульсу его левой части, имеющей длину $(l - h)/2$:
$p = \frac{l - h}{2} \frac{M}{l} \sqrt{2gh}$,
но поскольку $h = gt^{2}/2$, следовательно,
$p = \frac{l - gt^{2}/2 }{2} \frac{M}{l} gt$.
Полная сила, действующая на трос, равна результирующей силы тяжести $M \vec{g}$ и силы $\vec{R}$, с которой крюк действует на трос. Отсюда
$\frac{d}{dt} \left [ \frac{l - gt^{2}/2 }{2} \frac{M}{l} gt \right ] = Mg - R$.
Тогда
$\frac{1}{2}Mg - \frac{1}{4} \frac{M}{l} g^{2}3t^{2} = Mg - R$.
Это соотношение справедливо в каждый момент падения троса. Для времени $t$, соответствующего моменту $T = \sqrt{2l/g}$ (нижнее положение троса), имеем
$\frac{1}{2} Mg - \frac{3}{2} \frac{M}{l} gl = Mg - R$, откуда $R = 2Mg$.
Очевидно, это есть наибольшее значение силы $R$ за все время падения троса. Согласно условию задачи, должно выполняться требование
$N \geq 2Mg$.
